Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{x^{3}+2}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} d x
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
O integrando é uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador x^{3}+2 e denominador (x-1)(x^{2}+1).
O grau do numerador é 3 e o grau do denominador também é 3.
O denominador está fatorado em um fator linear (x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1).
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função racional acima.
Passo 2
Primeiro passo prático: como o grau do numerador é igual ao do denominador, faz sentido separar a parte polinomial usando divisão de polinômios (ou reconhecer que dá para escrever como uma soma de um polinômio mais uma fração própria). Vou expandir o denominador e fazer a subtração para encontrar o quociente e o resto.
Agora tratamos a fração própria \dfrac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)} por decomposição em frações parciais. Como o denominador tem um fator linear distinto (x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1), a forma geral da decomposição é
Multiplico ambos os lados pelo denominador (x-1)(x^{2}+1)\) para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
\[x^{2}-x+3 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).
Vou expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A,
(Bx+C)(x-1) = Bx^{2} + Cx - Bx - C = B x^{2} + (-B+C)x - C.
Somando:
A x^{2} + A + B x^{2} + (-B+C)x - C = (A+B)x^{2} + (-B+C)x + (A-C).
Assim igualando coeficientes com x^{2}-x+3, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -B + C = -1,\\[4pt] A - C = 3. \end{cases}
Vou resolver o sistema. Da terceira equação vem
C = A - 3.
Substituindo na segunda:
-B + (A-3) = -1 \implies A - B = 2.
Agora o sistema com a primeira equação A+B=1\] e \(A-B=2. Somando as duas: