Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador x^{3}+2 e denominador (x-1)(x^{2}+1).
  • O grau do numerador é 3 e o grau do denominador também é 3.
  • O denominador está fatorado em um fator linear (x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1).
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função racional acima.

Passo 2

Primeiro passo prático: como o grau do numerador é igual ao do denominador, faz sentido separar a parte polinomial usando divisão de polinômios (ou reconhecer que dá para escrever como uma soma de um polinômio mais uma fração própria). Vou expandir o denominador e fazer a subtração para encontrar o quociente e o resto.
Expansão do denominador:
(x-1)(x^{2}+1)=x^{3}-x^{2}+x-1.
Fazendo x^{3}+2 menos esse polinômio:
(x^{3}+2)-(x^{3}-x^{2}+x-1)=x^{2}-x+3.
Logo podemos escrever
\frac{x^{3}+2}{(x-1)(x^{2}+1)} = 1 + \frac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}.
Isso significa que
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}\,dx = \int 1\,dx + \int \frac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}\,dx.

Passo 3

Agora tratamos a fração própria \dfrac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)} por decomposição em frações parciais. Como o denominador tem um fator linear distinto (x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1), a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplico ambos os lados pelo denominador (x-1)(x^{2}+1)\) para obter uma igualdade de polinômios no numerador: \[x^{2}-x+3 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).
Vou expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A,
(Bx+C)(x-1) = Bx^{2} + Cx - Bx - C = B x^{2} + (-B+C)x - C.
Somando:
A x^{2} + A + B x^{2} + (-B+C)x - C = (A+B)x^{2} + (-B+C)x + (A-C).
Assim igualando coeficientes com x^{2}-x+3, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -B + C = -1,\\[4pt] A - C = 3. \end{cases}
Vou resolver o sistema. Da terceira equação vem
C = A - 3.
Substituindo na segunda:
-B + (A-3) = -1 \implies A - B = 2.
Agora o sistema com a primeira equação A+B=1\] e \(A-B=2. Somando as duas:
2A = 3 \implies A = \frac{3}{2}.
Então
B = 1 - A = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2},
e
C = A - 3 = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{x^{2}-x+3}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{3/2}{x-1} + \frac{(-\tfrac{1}{2}x - \tfrac{3}{2})}{x^{2}+1}.]

Passo 5

Reescrevendo o integrando completo usando a divisão feita no Passo 2 e a decomposição do Passo 4:
\frac{x^{3}+2}{(x-1)(x^{2}+1)} = 1 + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} -\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Portanto a integral se separa em integrais mais simples:
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}\,dx = \int 1\,dx + \frac{3}{2}\int \frac{1}{x-1}\,dx -\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx - \frac{3}{2}\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Agora calculo cada uma das integrais simples, explicando as fórmulas usadas.
  1. Integral de 1:
\int 1\,dx = x.
  1. Integral de \dfrac{1}{x-1}:
    A primitiva é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|.
Logo \dfrac{3}{2}\int \dfrac{1}{x-1}\,dx = \dfrac{3}{2}\ln|x-1|.
  1. Integral de \dfrac{x}{x^{2}+1}:
    Uso a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln u = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Com o fator -\tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos
-\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) = -\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1).
  1. Integral de \dfrac{1}{x^{2}+1}:
    Conhecida primitiva é o arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Com o fator -\dfrac{3}{2} fica
- \frac{3}{2}\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{3}{2}\arctan x.

Passo 7

Somando todas as parcelas obtidas, a primitiva da função original é
x + \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(x^{2}+1) - \frac{3}{2}\arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x + \dfrac{3}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{4}\ln(x^{2}+1) - \dfrac{3}{2}\arctan x + C

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