Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente.
\int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}\,dx.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • O integrando é uma função racional: numerador \,6x^{2}+5x+1 e denominador (x+1)(x^{2}+x+1).
    • O denominador já está escrito como um fator linear \,(x+1) multiplicado por um quadrático \,x^{2}+x+1 (este quadrático não tem raízes reais, pois o discriminante é 1-4<0).

Passo 2

Verificação e decomposição em frações parciais (explicando o porquê passo a passo).
  • Primeiro checar se a fração racional é própria: o grau do numerador é [2) e o grau do denominador é 3, então é própria — podemos aplicar diretamente frações parciais sem divisão polinomial.
  • Forma geral da decomposição: como o denominador tem um fator linear distinto (x+1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+x+1), a forma adequada é
\frac{6x^{2}+5x+1}{(x+1)(x^{2}+x+1)}=\frac{C}{x+1}+\frac{Ax+B}{x^{2}+x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicação: para um fator linear usa-se uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usa-se um numerador linear Ax+B.
  • Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+x+1) obtemos a identidade polinomial
6x^{2}+5x+1 = C(x^{2}+x+1)+(Ax+B)(x+1).
  • Expandir o lado direito:
C(x^{2}+x+1) + (Ax+B)(x+1) = Cx^{2}+Cx+C + Ax^{2}+(A+B)x+B.
Agrupando termos semelhantes:
(C+A)x^{2} + (C+A+B)x + (C+B).
  • Comparando coeficientes com 6x^{2}+5x+1 obtemos o sistema
\begin{cases} C + A = 6,\\[4pt] C + A + B = 5,\\[4pt] C + B = 1. \end{cases}
  • Resolver o sistema passo a passo:
    • Da primeira equação A = 6 - C\]. - Subtraindo a primeira da segunda: \((C+A+B)-(C+A)=B=5-6=-1. Logo B=-1.
      - Da terceira equação C + B = 1 segue C -1 = 1, assim C=2.
      - Então A = 6 - C = 6-2 = 4.
  • Então a decomposição é
\frac{6x^{2}+5x+1}{(x+1)(x^{2}+x+1)}=\frac{2}{x+1}+\frac{4x-1}{x^{2}+x+1}.]

Passo 3

Integração termo a termo. Escrevendo a integral como soma:
\int \frac{6x^{2}+5x+1}{(x+1)(x^{2}+x+1)}\,dx = \int \frac{2}{x+1}\,dx + \int \frac{4x-1}{x^{2}+x+1}\,dx.

Passo 4

Integrar o primeiro termo (parte simples de logaritmo):
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\int \frac{1}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Explicação rápida: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C e aqui u=x+1.

Passo 5

Integrar o segundo termo \displaystyle \int \frac{4x-1}{x^{2}+x+1}\,dx passo a passo.
  • Observação: a derivada do denominador é \frac{d}{dx}(x^{2}+x+1)=2x+1. É conveniente escrever o numerador como múltiplo dessa derivada mais uma constante:
4x-1 = k(2x+1) + m.
Comparando coeficientes: 2k = 4\Rightarrow k=2. Então k+ m = -1\Rightarrow 2 + m = -1\Rightarrow m = -3. Assim
4x-1 = 2(2x+1) - 3.
  • Logo
\frac{4x-1}{x^{2}+x+1} = 2\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+x+1} - \frac{3}{x^{2}+x+1}.
  • Integrando a primeira parte com substituição u=x^{2}+x+1, du=(2x+1)\,dx:
\int 2\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx = 2\int \frac{1}{u}\,du = 2\ln(x^{2}+x+1).
(Nota: x^{2}+x+1>0 para todo x, então podemos omitir barras de valor absoluto aqui; manterei a forma \ln(\cdot).)
  • Resta integrar \displaystyle -3\int \frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx. Para isso completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+x+1 = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(1-\tfrac{1}{4}\right) = \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4}.
  • Escrevendo em forma padrão \,a^{2}=(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}, obtemos
\int \frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx = \int \frac{1}{\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\,dx.
  • A integral padrão é \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C. Aplicando com u=x+\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, e du=dx, dá
\int \frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx = \frac{1}{(\sqrt{3}/2)}\arctan\!\left(\frac{x+\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).
  • Multiplicando pelo fator -3 obtém-se
-3\int \frac{1}{x^{2}+x+1}\,dx = -3\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{6}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).
Simplificando \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}, isso é
-2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Juntando todas as partes (do Passo 4 e Passo 5) obtemos a primitiva:
2\ln|x+1| + 2\ln(x^{2}+x+1) - 2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C,
onde C é a constante de integração. Opcionalmente as duas primeiras parcelas logarítmicas podem ser combinadas em 2\ln\big(|x+1|(x^{2}+x+1)\big), se preferir.

Resposta

2\ln|x+1| + 2\ln(x^{2}+x+1) - 2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C

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