Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por frações parciais quando conveniente. \int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x
O integrando é uma função racional: numerador \,6x^{2}+5x+1 e denominador (x+1)(x^{2}+x+1).
O denominador já está escrito como um fator linear \,(x+1) multiplicado por um quadrático \,x^{2}+x+1 (este quadrático não tem raízes reais, pois o discriminante é 1-4<0).
Passo 2
Verificação e decomposição em frações parciais (explicando o porquê passo a passo).
Primeiro checar se a fração racional é própria: o grau do numerador é [2) e o grau do denominador é 3, então é própria — podemos aplicar diretamente frações parciais sem divisão polinomial.
Forma geral da decomposição: como o denominador tem um fator linear distinto (x+1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+x+1), a forma adequada é
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicação: para um fator linear usa-se uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usa-se um numerador linear Ax+B.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+x+1) obtemos a identidade polinomial
Comparando coeficientes com 6x^{2}+5x+1 obtemos o sistema
\begin{cases} C + A = 6,\\[4pt] C + A + B = 5,\\[4pt] C + B = 1. \end{cases}
Resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação A = 6 - C\].
- Subtraindo a primeira da segunda: \((C+A+B)-(C+A)=B=5-6=-1. Logo B=-1.
- Da terceira equação C + B = 1 segue C -1 = 1, assim C=2.
- Então A = 6 - C = 6-2 = 4.
Explicação rápida: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C e aqui u=x+1.
Passo 5
Integrar o segundo termo \displaystyle \int \frac{4x-1}{x^{2}+x+1}\,dx passo a passo.
Observação: a derivada do denominador é \frac{d}{dx}(x^{2}+x+1)=2x+1. É conveniente escrever o numerador como múltiplo dessa derivada mais uma constante:
4x-1 = k(2x+1) + m.
Comparando coeficientes: 2k = 4\Rightarrow k=2. Então k+ m = -1\Rightarrow 2 + m = -1\Rightarrow m = -3. Assim
A integral padrão é \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C. Aplicando com u=x+\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, e du=dx, dá
onde C é a constante de integração. Opcionalmente as duas primeiras parcelas logarítmicas podem ser combinadas em 2\ln\big(|x+1|(x^{2}+x+1)\big), se preferir.
Resposta
2\ln|x+1| + 2\ln(x^{2}+x+1) - 2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C