Calcule as integrais trigonométricas a seguir.
\int \operatorname{sen}(x) \operatorname{sec} (x) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: calcular a integral
\int \sin(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx.
Ou seja, a tarefa é encontrar uma função cuja derivada seja \sin(x)\operatorname{sec}(x). Não há mais dados além da expressão da integral.

Passo 2

Primeira simplificação: usar a identidade trigonométrica \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Aplicando isso à integranda:
\sin(x)\,\operatorname{sec}(x)=\sin(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Observação didática: a razão \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} é exatamente a função tangente, isto é \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}. Então podemos reescrever a integral como
\int \sin(x)\,\operatorname{sec}(x)\,dx=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=\int \tan(x)\,dx.

Passo 3

Escolha do método: substituição (u-substitution). Motivo simples e útil para prova: quando a integranda tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)} a primitiva é \ln|f(x)|. Aqui a presença de \sin(x) no numerador e \cos(x) no denominador sugere usar u=\cos(x), porque a derivada de \cos(x) é (menos) \sin(x).

Passo 4

Fazer a substituição passo a passo. Defina
u=\cos(x).
Calcule a diferencial:
du=\frac{d}{dx}\cos(x)\,dx=-\sin(x)\,dx,
ou seja
\sin(x)\,dx=-du.
Agora troque tudo na integral original (pegando a expressão \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}):
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}\,(\sin(x)\,dx)=\int \frac{1}{u}\,(-du)=-\int \frac{du}{u}.

Passo 5

Calcule a integral em u. A integral básica é \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C. Assim
-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|+C.
Voltando à variável original x usando u=\cos(x), obtemos
-\ln|\cos(x)|+C.

Passo 6

Formas equivalentes e verificação rápida. Uma forma equivalente é
-\ln|\cos(x)|+C=\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr|+C,
porque \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x) e -\ln|\cos x|=\ln|1/\cos x|. Para checar, derive o resultado:
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln|\cos x|\bigr)=-\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x=\sin x\,\operatorname{sec} x,
ou seja, a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que vir \dfrac{f'(x)}{f(x)} na integranda, pense direto em \ln|f(x)|. No caso de \tan x, memorize que
\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C,
pois isso evita refazer todo o processo em questões pressurizadas. Força aí — deu certo!

Resposta

-\ln|\cos(x)|+C

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