Calcule as integrais trigonométricas a seguir.
\int \cos (7 x) \cos (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(7x)\cos(4x)\,dx.
Informações dadas (o que tenho para trabalhar):
  • A função a integrar é o produto de duas cossenos com argumentos lineares em x: \cos(7x) e \cos(4x).
  • Preciso encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: a identidade produto-para-soma para cossenos. Vou derivá-la rapidinho para ficar claro de onde vem.
Começo das fórmulas de soma e diferença:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando as duas igualdades obtemos:
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v.
Isolando o produto,
\cos u\cos v=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u+v)+\cos(u-v)\bigr).
Aqui u e v são quaisquer funções de x; no nosso caso serão múltiplos de x.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=7x e v=4x:
\cos(7x)\cos(4x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((7x)+(4x))+\cos((7x)-(4x))\bigr).
Simplificando os argumentos:
\cos(7x)\cos(4x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(11x)+\cos(3x)\bigr).

Passo 4

Substituo essa igualdade na integral original e separo os termos (linearidade da integral):
\int \cos(7x)\cos(4x)\,dx = \int \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(11x)+\cos(3x)\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \cos(11x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \cos(3x)\,dx.

Passo 5

Agora lembro a regra básica de integração de funções do tipo \cos(kx). Para k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Explicando por que: faça a substituição t=kx, então dt=k\,dx e dx=\tfrac{1}{k}dt. A integral fica \int \cos t\cdot \tfrac{1}{k}\,dt=\tfrac{1}{k}\sin t + C=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C.
Aplicando isso aos dois termos:
\int \cos(11x)\,dx=\frac{1}{11}\sin(11x)+C_1, \qquad \int \cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x)+C_2.

Passo 6

Voltando à expressão com o fator \tfrac{1}{2} e combinando constantes:
\tfrac{1}{2}\int \cos(11x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{11}\sin(11x) + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\sin(3x) + C.
Simplificando as frações:
\int \cos(7x)\cos(4x)\,dx = \frac{1}{22}\sin(11x) + \frac{1}{6}\sin(3x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando.
Derivada de \frac{1}{22}\sin(11x) é \frac{1}{22}\cdot 11\cos(11x)=\tfrac{1}{2}\cos(11x).
Derivada de \frac{1}{6}\sin(3x) é \frac{1}{6}\cdot 3\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\cos(3x).
Somando dá \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(11x)+\cos(3x)\bigr), que por Passo 3 é igual a \cos(7x)\cos(4x). Está consistente.

Resposta

\dfrac{1}{22}\sin(11x)+\dfrac{1}{6}\sin(3x)+C

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