Calcule as integrais trigonométricas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas (o que tenho para trabalhar):
- A função a integrar é o produto de duas cossenos com argumentos lineares em
: e . - Preciso encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: a identidade produto-para-soma para cossenos. Vou derivá-la rapidinho para ficar claro de onde vem.
Começo das fórmulas de soma e diferença:
Somando as duas igualdades obtemos:
Isolando o produto,
Aqui
e
são quaisquer funções de
; no nosso caso serão múltiplos de
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Simplificando os argumentos:
Passo 4
Substituo essa igualdade na integral original e separo os termos (linearidade da integral):
Passo 5
Agora lembro a regra básica de integração de funções do tipo
. Para
,
Explicando por que: faça a substituição
, então
e
. A integral fica
.
Aplicando isso aos dois termos:
Passo 6
Voltando à expressão com o fator
e combinando constantes:
Simplificando as frações:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve voltar ao integrando.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Somando dá , que por Passo 3 é igual a
. Está consistente.
Derivada de
Derivada de
Somando dá