Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
$ \int x \ln (x) d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral xln(x),dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que vamos usar porque temos o produto de duas funções fáceis de derivar/integrar: x e ln(x).

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos u e dv de forma a simplificar a integral restante. Seja
u = ln(x), dv = x,dx
Então calculamos:

Passo 3

Agora usamos a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo nossas escolhas, temos:
integral xln(x),dx = ln(x)cdotx^22 - integral x^22cdot1x,dx
Dentro da integral sobra:
x^22cdot1x = x2,
então a expressão fica
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - integral x2,dx

Passo 4

Basta agora integrar x2:
integral x2,dx = 12integral x,dx = 12cdotx^22 = x^24
Logo,
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - x^24 + C

Passo 5

Acabou! A constante C representa a constante de integração que sempre adicionamos em integrais indefinidas. Agora temos o resultado completo.

Resposta

integral xln(x),dx = x^22ln(x) - x^24 + C

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