Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
$ \int x^{3} \cos (x) d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3cos(x),dx. O tema é integração por partes, pois temos um produto entre um polinômio e uma função trigonométrica.

Passo 2

A técnica de integração por partes se baseia na fórmula abaixo, que relaciona u e dv:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui vamos escolher partes de x^3cos(x) de forma a simplificar o polinômio.

Passo 3

Primeira aplicação: escolhemos
u = x^3, dv = cos(x),dx
Então
du = 3x^2,dx, v = integral cos(x),dx = sin(x)
Substituindo na fórmula,
integral x^3cos(x),dx = x^3sin(x) - integral sin(x),(3x^2,dx) = x^3sin(x) - 3integral x^2sin(x),dx

Passo 4

Segunda aplicação em integral x^2sin(x),dx: escolhemos
u1 = x^2, dv1 = sin(x),dx
Então
du1 = 2x,dx, v1 = integral sin(x),dx = -cos(x)
Logo,
integral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) + integral 2xcos(x),dx = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx
Substituindo de volta,
integral x^3cos(x),dx = x^3sin(x) - 3l(-x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dxr) = x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6integral xcos(x),dx

Passo 5

Terceira aplicação em integral xcos(x),dx: escolhemos
u2 = x, dv2 = cos(x),dx
Então
du2 = dx, v2 = integral cos(x),dx = sin(x)
Logo,
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x)
Agora basta voltar ao resultado anterior:

Passo 6

Após substituir temos
integral x^3cos(x),dx = x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6l(xsin(x) + cos(x)r) + C

Resposta

x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6xsin(x) - 6cos(x) + C

Exercícios relacionados