Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
$ \int x^{3} \cos (x) d x$
$ \int x^{3} \cos (x) d x$
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O tema é integração por partes, pois temos um produto entre um polinômio e uma função trigonométrica.
Passo 2
A técnica de integração por partes se baseia na fórmula abaixo, que relaciona
e
:
Aqui vamos escolher partes de
de forma a simplificar o polinômio.
Passo 3
Primeira aplicação: escolhemos
Então
Substituindo na fórmula,
Passo 4
Segunda aplicação em
: escolhemos
Então
Logo,
Substituindo de volta,
Passo 5
Terceira aplicação em
: escolhemos
Então
Logo,
Agora basta voltar ao resultado anterior:
Passo 6
Após substituir temos