Calcule as integrais indefinidas, usando frações parciais:
integral x-1x^3-8 x^2+21 x-18 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular a integral indefinida usando frações parciais:
integral x-1x^3-8 x^2+21 x-18 , dx
Para isso, vamos precisar entender sobre frações parciais, que ajudam a decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3-8 x^2+21 x-18. Fatorar significa escrever o polinômio como produto de polinômios de grau menor. Vamos procurar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando valores, descobrimos que x = 1 é uma raiz.
Dividindo o polinômio por (x - 1) usando divisão polinomial, obtemos:
x^3-8 x^2+21 x-18 = (x - 1)(x^2 - 7x + 18)
Agora, vamos tentar fatorar x^2 - 7x + 18. Calculando o discriminante b^2 - 4ac = 49 - 72 = -23, que é negativo. Então, não há raízes reais adicionais. Portanto, a fatoração completa do denominador é:
x^3-8 x^2+21 x-18 = (x - 1)(x^2 - 7x + 18)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração x-1(x - 1)(x^2 - 7x + 18) como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear (x - 1) e um fator quadrático irreduzível (x^2 - 7x + 18), a decomposição será:
x-1(x - 1)(x^2 - 7x + 18) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 - 7x + 18

Passo 4

Vamos encontrar os valores de A, B e C. Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x^2 - 7x + 18), temos:
x - 1 = A(x^2 - 7x + 18) + (Bx + C)(x - 1)
Expandindo o lado direito:
x - 1 = A x^2 - 7A x + 18A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agrupando os termos semelhantes:
x - 1 = (A + B) x^2 + (-7A - B + C) x + (18A - C)
Isso nos dá o sistema de equações:
A + B = 0 -7A - B + C = 1 18A - C = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, B = -A.
Substituindo na segunda equação:
-7A - (-A) + C = 1 implies -6A + C = 1
E na terceira equação:
18A - C = -1
Agora, somando as duas últimas equações:
-6A + C + 18A - C = 1 - 1 implies 12A = 0 implies A = 0
Substituindo A = 0 na primeira equação, B = 0.
E na segunda equação:
-6(0) + C = 1 implies C = 1

Passo 6

Com os valores encontrados, a decomposição fica:
x-1(x - 1)(x^2 - 7x + 18) = 0x - 1 + 0x + 1x^2 - 7x + 18 = 1x^2 - 7x + 18

Passo 7

Agora, vamos integrar 1x^2 - 7x + 18. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2 - 7x + 18 = (x^2 - 7x + (72)^2) + 18 - (72)^2 = (x - 72)^2 + 234
Então, a integral fica:
integral 1(x - 72)^2 + (raiz232)^2 , dx
Isso é da forma integral 1u^2 + a^2 , du, que integra para 1a tan^-1(ua) + C.

Passo 8

Aplicando a fórmula, temos:
1raiz232 tan^-1(x - 72raiz232) + C = 2raiz23 tan^-1(2x - 7raiz23) + C

Resposta

integral x-1x^3-8 x^2+21 x-18 , dx = 2raiz23 tan^-1(2x - 7raiz23) + C

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