Calcule as integrais indefinidas, usando frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular a integral indefinida usando frações parciais:
Para isso, vamos precisar entender sobre frações parciais, que ajudam a decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Fatorar significa escrever o polinômio como produto de polinômios de grau menor. Vamos procurar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando valores, descobrimos que é uma raiz.
Dividindo o polinômio por usando divisão polinomial, obtemos:
Agora, vamos tentar fatorar . Calculando o discriminante , que é negativo. Então, não há raízes reais adicionais. Portanto, a fatoração completa do denominador é:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Como temos um fator linear e um fator quadrático irreduzível , a decomposição será:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de , e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, B = -A.
Substituindo na segunda equação:
-7A - (-A) + C = 1 implies -6A + C = 1
E na terceira equação:
18A - C = -1
Agora, somando as duas últimas equações:
-6A + C + 18A - C = 1 - 1 implies 12A = 0 implies A = 0