Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
integral arctg 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral arctan(3x),dx usando integração por partes. Vamos aplicar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du e também usar a derivada de arctan(u), que é u'1+u^2.

Passo 2

Escolhemos u = arctan(3x) para que sua derivada seja simples, e dv = dx para que v fique trivial de obter.
Como dv = dx, temos v = x. E usando regra da cadeia na derivada de u, temos du = ddx[arctan(3x)],dx = 31+9x^2,dx.

Passo 3

Aplicando a integração por partes, obtemos
integral arctan(3x),dx = xarctan(3x) - integral x cdot 31+9x^2,dx = xarctan(3x) - 3integral x1+9x^2,dx
Agora só falta resolver integral x1+9x^2,dx.

Passo 4

Para integral x1+9x^2,dx, fazemos a substituição t = 1+9x^2, então dt = 18x,dx e x,dx = dt/18. Assim
integral x1+9x^2,dx = integral 1t cdot dt18 = 118 lnl(1+9x^2r)

Resposta

xarctan(3x) - 16lnl(1+9x^2r) + C

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