Calcule o volume do sólido limitado por:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de um sólido que é limitado pelas superfícies $ y = 0 $, $ z = 0 $, $ x + y = 2 $, $ x + 2y = 4 $ e $ y^2 + z^2 = 4 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, já que estamos lidando com um volume em três dimensões. Precisamos entender bem os limites de integração definindo as regiões onde essas superfícies se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido:
- $ y = 0 $ é o plano que corresponde ao eixo $ xz $.
- $ z = 0 $ é o plano que corresponde ao eixo $ xy $.
- $ x + y = 2 $ e $ x + 2y = 4 $ são planos inclinados.
- $ y^2 + z^2 = 4 $ é um cilindro circular de raio 2 ao redor do eixo $ x $.
Vamos determinar a região no plano $ xy $ onde todas essas superfícies se encontram.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção dos planos $ x + y = 2 $ e $ x + 2y = 4 $. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo $ y = 2 $ na primeira equação:
Então, as retas se intersectam no ponto $ (0, 2) $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de $ y $. Sabendo que o cilindro $ y^2 + z^2 = 4 $ tem raio 2, $ y $ varia de 0 a 2.
Passo 5
Para cada valor de $ y $ entre 0 e 2, determinamos os limites de $ x $ a partir das equações dos planos:
- A partir de $ x + y = 2 $, temos $ x = 2 - y $.
- A partir de $ x + 2y = 4 $, temos $ x = 4 - 2y $.
Portanto, para cada $ y $, $ x $ varia de $ 2 - y $ a $ 4 - 2y $.
Passo 6
Agora, vamos considerar a equação do cilindro $ y^2 + z^2 = 4 $. Para cada $ y $, $ z $ varia de 0 a $ \sqrt{4 - y^2} $, já que $ z $ é positivo (limitado por $ z = 0 $).
Passo 7
Com todos os limites definidos, podemos expressar o volume $ V $ como uma integral tripla:
Passo 8
Vamos resolver a integral mais interna em $ z $:
Então, o volume fica:
Passo 9
Agora, integramos em $ x $. Como $ \sqrt{4 - y^2} $ não depende de $ x $, a integral em $ x $ é:
Então, o volume agora é:
Passo 10
Vamos fazer uma substituição para resolver a integral em $ y $. Seja $ u = 4 - y^2 $, então $ du = -2y , dy $. No entanto, para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja $ y = 2 \sin \theta $, então $ dy = 2 \cos \theta , d\theta $ e $ \sqrt{4 - y^2} = 2 \cos \theta $.
Os limites para $ \theta $ quando $ y = 0 $ são $ \theta = 0 $ e quando $ y = 2 $, $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
Passo 11
Substituindo na integral:
Passo 12
Expandindo a expressão:
Calculamos as duas integrais separadamente:
Passo 13
Aplicando os limites:
Calculando em $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
E em $ \theta = 0 $:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido limitado pelas superfícies dadas é $ V = 2\pi + \frac{8}{3} $ unidades cúbicas.