Calcule as integrais indefinidas, usando frações parciais:
integral x^3+5 x^2-x-22x^2+3 x-10 d x

Passo 1

Temos a integral integral x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional: primeiro a gente faz divisão polinomial para simplificar a integral em termos mais fáceis, e depois aplica frações parciais no resto.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^3+5x^2-x-22 por x^2+3x-10:
x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10=x+2+3x-2x^2+3x-10

Passo 3

Observe que o denominador fatora como
x^2+3x-10=(x+5)(x-2)

Passo 4

Agora escrevemos a parte fracionária em frações parciais:
3x-2(x+5)(x-2)=Ax+5+Bx-2
Multiplicando tudo por (x+5)(x-2) obtemos
3x-2=A(x-2)+B(x+5)=(A+B)x+(-2A+5B)
Igualando coeficientes:
A+B=3, -2A+5B=-2
Daí
B=47, A=3-47=177

Passo 5

Substituindo de volta na integral,
integralx^3+5x^2-x-22x^2+3x-10,dx =integral(x+2),dx+integral17/7x+5,dx+integral4/7x-2,dx
Integramos termo a termo:
integral x,dx=x^22, integral2,dx=2x,
integral17/7x+5,dx=177ln|x+5|, integral4/7x-2,dx=47ln|x-2|

Passo 6

Juntando tudo, a antiderivada geral fica
x^22+2x+177ln|x+5|+47ln|x-2|+C

Resposta

x^22+2x+177ln|x+5|+47ln|x-2|+C

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