Para a curva e o ponto
dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e fazer um esboço da curva junto com o círculo de curvatura no ponto
para a função
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas, pra entender como a curva se comporta nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura (
) de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. É como se fosse uma medida de quão apertada é a curva ali. Para calcular a curvatura de uma função
, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é a primeira derivada de em relação a (a inclinação da reta tangente). -
é a segunda derivada de em relação a (a taxa de variação da inclinação).
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas da nossa função
.
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a curvatura
no ponto
. Substituindo
nas derivadas:
Substituindo na fórmula da curvatura:
Passo 5
O raio de curvatura (
) é simplesmente o inverso da curvatura:
Passo 6
Para encontrar o centro de curvatura, precisamos determinar a direção da normal à curva no ponto
. A normal é perpendicular à reta tangente.
A inclinação da reta tangente no ponto
é
. Então, a inclinação da normal é o negativo do inverso disso:
Isso significa que a normal tem uma inclinação de -1. A partir do ponto
, vamos mover uma distância igual ao raio de curvatura na direção da normal para encontrar o centro de curvatura.
Calculando as componentes:
Onde
é o ângulo da normal. Como
, o ângulo
(ou
radianos).
Assim:
Então, o centro de curvatura
é:
Passo 7
Por fim, vamos fazer o esboço. A curva
é uma parábola. No ponto
, o círculo de curvatura terá raio
e estará centrado em
. No esboço, você deve desenhar a parábola, marcar o ponto
, desenhar a normal nesse ponto e então desenhar o círculo com centro em
passando por
.
Resposta
A curvatura no ponto
é
aproximadamente
. O raio de curvatura é
aproximadamente
. O centro de curvatura está no ponto
. O esboço inclui a parábola
com o círculo de curvatura centrado em
passando por
.