Para a curva e o ponto P dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em P.
(e) y=12 x^2 ; P(1, 12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e fazer um esboço da curva junto com o círculo de curvatura no ponto para a função . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas, pra entender como a curva se comporta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura ( kappa = |y''|(1 + (y')^2)^3/2 ) de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” nesse ponto. É como se fosse uma medida de quão apertada é a curva ali. Para calcular a curvatura de uma função , usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a primeira derivada de em relação a (a inclinação da reta tangente).
  • é a segunda derivada de em relação a (a taxa de variação da inclinação).

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas da nossa função y' = ddx(12x^2) = x .
Primeira derivada y'' = ddx(x) = 1 :
Segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular a curvatura y' = 1 no ponto y'' = 1 . Substituindo kappa = |1|(1 + (1)^2)^3/2 = 1(1 + 1)^3/2 = 12^3/2 = 12raiz2 = raiz24 approx 0,3535 nas derivadas:
Substituindo na fórmula da curvatura:

Passo 5

O raio de curvatura ( R = 1kappa = 4raiz2 = 2raiz2 approx 2,828 ) é simplesmente o inverso da curvatura:

Passo 6

Para encontrar o centro de curvatura, precisamos determinar a direção da normal à curva no ponto mnormal = -11 = -1 . A normal é perpendicular à reta tangente.
A inclinação da reta tangente no ponto De é De. Então, a inclinação da normal é o negativo do inverso disso:
De
Isso significa que a normal tem uma inclinação de -1. A partir do ponto De, vamos mover uma distância igual ao raio de curvatura na direção da normal para encontrar o centro de curvatura.
Calculando as componentes:
C = (1 + (-2), 12 + 2) = (-1, 2,5)
Onde é o ângulo da normal. Como , o ângulo (ou radianos).
Assim:
Então, o centro de curvatura é:

Passo 7

Por fim, vamos fazer o esboço. A curva é uma parábola. No ponto , o círculo de curvatura terá raio e estará centrado em . No esboço, você deve desenhar a parábola, marcar o ponto , desenhar a normal nesse ponto e então desenhar o círculo com centro em passando por .

Resposta

A curvatura no ponto é aproximadamente . O raio de curvatura é aproximadamente . O centro de curvatura está no ponto . O esboço inclui a parábola com o círculo de curvatura centrado em passando por .

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