Para a curva e o ponto P dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em P.
(a) y=sen(x) ; P(pi / 2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a curva no ponto . Vamos precisar entender os conceitos de curvatura, raio de curvatura e centro de curvatura. Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar a curvatura da curva nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Matemáticamente, para uma função kappa = |y''|(1 + (y')^2)^3/2 , a curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada e é a segunda derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função y' = cos(x) :
Primeira derivada:
y'' = -sin(x)
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a curvatura no ponto y'(pi2) = cos(pi2) = 0 :
Substituindo y''(pi2) = -sin(pi2) = -1 nas derivadas:
kappa = |-1|(1 + 0^2)^3/2 = 11 = 1
Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Então, a curvatura no ponto é 1.

Passo 5

O raio de curvatura R = 1kappa = 11 = 1 é o inverso da curvatura:
Então, o raio de curvatura no ponto é 1.

Passo 6

Para encontrar o centro de curvatura, precisamos calcular o vetor normal unitário no ponto C = P + 1kappa cdot N e deslocar-se ao longo dele pelo raio de curvatura.
A fórmula para o centro de curvatura C = (pi2, 1 - 1) = (pi2, 0) é:
Onde é o vetor normal unitário.
Primeiro, encontramos a inclinação da normal. A derivada da função dá a inclinação da tangente, então a inclinação da normal é o negativo do inverso disso.
Como em , a tangente é horizontal, então a normal é vertical. Como a segunda derivada é negativa, a normal aponta para baixo.
Então, o centro de curvatura está 1 unidade abaixo de :

Resposta

A curvatura em é , o raio de curvatura é , e o centro de curvatura está no ponto . O gráfico da curva e o círculo de curvatura no ponto podem ser esboçados com o centro em e raio 1.

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