Para a curva e o ponto
dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a curva
no ponto
. Vamos precisar entender os conceitos de curvatura, raio de curvatura e centro de curvatura. Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar a curvatura da curva nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Matemáticamente, para uma função
, a curvatura
é dada por:
Aqui,
é a primeira derivada e
é a segunda derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a curvatura no ponto
:
Substituindo
nas derivadas:
Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Então, a curvatura
no ponto
é 1.
Passo 5
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Então, o raio de curvatura no ponto
é 1.
Passo 6
Para encontrar o centro de curvatura, precisamos calcular o vetor normal unitário no ponto
e deslocar-se ao longo dele pelo raio de curvatura.
A fórmula para o centro de curvatura
é:
Onde
é o vetor normal unitário.
Primeiro, encontramos a inclinação da normal. A derivada da função dá a inclinação da tangente, então a inclinação da normal é o negativo do inverso disso.
Como
em
, a tangente é horizontal, então a normal é vertical. Como a segunda derivada é negativa, a normal aponta para baixo.
Então, o centro de curvatura está 1 unidade abaixo de
:
Resposta
A curvatura em
é
, o raio de curvatura é
, e o centro de curvatura está no ponto
. O gráfico da curva
e o círculo de curvatura no ponto
podem ser esboçados com o centro em
e raio 1.