Se um ponto P se move ao longo de uma curva C com velocidade constante, mostre que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curvatura da curva.

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que, quando um ponto P se desloca ao longo de uma curva C com velocidade escalar constante, o módulo da aceleração é proporcional à curvatura da curva. O conteúdo envolve cinemática vetorial e geometria diferencial de curvas, e vamos precisar das definições de vetor velocidade, vetor aceleração e curvatura.

Passo 2

Como a velocidade escalar é constante, podemos escrever o vetor velocidade como
v = v, T
onde v é a rapidez constante e T é o vetor tangente unitário à curva. Diferenciando em relação ao tempo, obtemos o vetor aceleração:
a = d vdt = v,d Tdt

Passo 3

A definição de curvatura kappa é
kappa = lVertd TdsrVert
onde s é o parâmetro de comprimento de arco. Como ds/dt = v, podemos relacionar:
d Tdt = d Tdsdsdt = v,d Tds
Logo,
a = vl(v,tfracd Tdsr)=v^2,d Tds
Tomando o módulo, vem
lVert arVert = v^2,lVertd TdsrVert = v^2,kappa
Isso mostra que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curvatura da curva.

Passo 4

Com isso, concluímos a relação entre a aceleração e a curvatura para movimento com rapidez constante.

Resposta

lVert arVert = v^2,kappa

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