Se um ponto se move ao longo de uma curva com velocidade constante, mostre que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curvatura da curva.
Passo 1
A questão pede para mostrarmos que, quando um ponto P se desloca ao longo de uma curva C com velocidade escalar constante, o módulo da aceleração é proporcional à curvatura da curva. O conteúdo envolve cinemática vetorial e geometria diferencial de curvas, e vamos precisar das definições de vetor velocidade, vetor aceleração e curvatura.
Passo 2
Como a velocidade escalar é constante, podemos escrever o vetor velocidade como
onde é a rapidez constante e é o vetor tangente unitário à curva. Diferenciando em relação ao tempo, obtemos o vetor aceleração:
Passo 3
A definição de curvatura é
onde s é o parâmetro de comprimento de arco. Como ds/dt = v, podemos relacionar:
d Tdt = d Tdsdsdt = v,d Tds
Logo,
a = vl(v,tfracd Tdsr)=v^2,d Tds
Tomando o módulo, vem
lVert arVert = v^2,lVertd TdsrVert = v^2,kappa
Isso mostra que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curvatura da curva.
Passo 4
Com isso, concluímos a relação entre a aceleração e a curvatura para movimento com rapidez constante.