Calcule as integrais indefinidas usando a integração por partes.
integral(x^2+3 x) cdot sen(x) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida integral (x^2+3x)sin(x),dx. O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
integral (x^2+3x)sin(x),dx = integral x^2sin(x),dx + 3integral xsin(x),dx

Passo 3

Calcular I1=integral x^2sin(x),dx por partes: escolhemos u=x^2 e dv=sin(x),dx. Então du=2x,dx e v=-cos(x). Aplicando a fórmula:
I1 = -x^2cos(x) - integral (-cos(x)),2x,dx = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx
Agora integral xcos(x),dx também por partes com u=x, dv=cos(x),dx, obtém-se integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x). Logo
I1 = -x^2cos(x) + 2l(xsin(x) + cos(x)r) = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x)

Passo 4

Calcular I2=3integral xsin(x),dx: por partes com u=x, dv=sin(x),dx du=dx, v=-cos(x) e
integral xsin(x),dx = -xcos(x) - integral (-cos(x)),dx = -xcos(x) + sin(x)
Multiplicando por 3:
I2 = -3xcos(x) + 3sin(x)

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante C:
integral (x^2+3x)sin(x),dx = I1 + I2 + C = l(-x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x)r) + l(-3xcos(x) + 3sin(x)r) + C
Agrupando termos semelhantes obtém-se a resposta final.

Resposta

-x^2cos(x) - 3xcos(x) + 2xsin(x) + 3sin(x) + 2cos(x) + C

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