Determine a solução das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais, que é uma área da matemática que estuda como funções mudam. A equação que precisamos resolver é:
y' = y + e^-3x y^4
Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais não lineares usando substituições específicas. Vou te explicar passo a passo como fazer isso de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a forma da equação:
y' = y + e^-3x y^4
Essa equação é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, comparando, temos:
P(x) = -1 e Q(x) = e^-3x e n = 4
As equações de Bernoulli são legais porque podemos transformá-las em equações lineares usando uma substituição apropriada. Isso facilita bastante a resolução.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição para transformar nossa equação de Bernoulli em uma equação diferencial linear. A substituição que usamos é:
z = y^1 - n = y^1 - 4 = y^-3
Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
dzdx = -3 y^-4 dydx
Agora, substituindo y' pela nossa equação original:
dzdx = -3 y^-4 ( y + e^-3x y^4 )
Simplificando:
dzdx = -3 y^-3 - 3 e^-3x
Mas como z = y^-3, podemos substituir novamente:
dzdx = -3 z - 3 e^-3x
Essa é uma equação linear em z, que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação linear:
dzdx + 3 z = -3 e^-3x
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x
Multiplicando toda a equação por mu(x):
e^3x dzdx + 3 e^3x z = -3 e^0 = -3
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) z:
ddx ( e^3x z ) = -3
Integrando ambos os lados:
e^3x z = -3x + C
Onde C é a constante de integração. Agora, isolamos z:
z = e^-3x (-3x + C)

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição z = y^-3, vamos voltar para y:
y^-3 = e^-3x (-3x + C)
Então, isolando y:
y = ( e^-3x (-3x + C) )^-1/3 = e^x (-3x + C)^-1/3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x ( -3x + C )^-13
Onde C é uma constante arbitrária.

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