Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais, que é uma área da matemática que estuda como funções mudam. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais não lineares usando substituições específicas. Vou te explicar passo a passo como fazer isso de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a forma da equação:
Essa equação é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, comparando, temos:
As equações de Bernoulli são legais porque podemos transformá-las em equações lineares usando uma substituição apropriada. Isso facilita bastante a resolução.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição para transformar nossa equação de Bernoulli em uma equação diferencial linear. A substituição que usamos é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Agora, substituindo
pela nossa equação original:
Simplificando:
Mas como
, podemos substituir novamente:
Essa é uma equação linear em
, que é mais fácil de resolver.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação linear:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para
:
Então, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.