Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
integral d xx^3 raizx^2-9 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral dxx^3raizx^2-9 usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é o uso da substituição x=asectheta para integrar expressões com raizx^2-a^2. Vamos precisar lembrar que se x=3sectheta, então raizx^2-9=3tantheta e dx=3secthetatantheta,dtheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=3sectheta:
raizx^2-9=3tantheta,
dx=3secthetatantheta,dtheta
Logo,
integral dxx^3raizx^2-9 =integral 3secthetatantheta,dtheta(3sectheta)^3cdot(3tantheta)

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral:
3secthetatantheta27sec^3thetacdot3tantheta =3sectheta81sec^3theta =1271sec^2theta =127cos^2theta
Então a integral vira
integral 127cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta=1+cos2theta2
Assim,
integral 127cos^2theta,dtheta =127integral 1+cos2theta2,dtheta =154integral(1+cos2theta),dtheta =154l(theta+sin2theta2r)+C

Passo 5

Reescrevendo sin2theta=2sinthetacostheta, fica
154theta+1108sin2theta+ C =154theta+sinthetacostheta54+C
Agora voltamos a x. Como sectheta=x3, temos ,
theta=arcsecx3=arccos3x
Então
sintheta=raizx^2-9x, costheta=3x

Passo 6

Substituindo tudo de volta em função de x, a primitiva é
154arccos3x+154cdot3raizx^2-9x^2+C =154arccos3x+raizx^2-918x^2+C

Resposta

154arccos3x+raizx^2-918x^2+C

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