Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
integral sen(3 x2) d x;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral indefinida integral sinl(tfrac3x2r),dx usando substituição; o conteúdo aqui é integração por substituição, onde vamos identificar uma parte interna e usar $u = $ essa parte.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = tfrac3x2. Então derivando, du = tfrac32,dx, ou seja, dx = tfrac23,du. Isso transforma a integral original em termos de u.

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral sinl(tfrac3x2r),dx = integral sin(u) cdot tfrac23,du = tfrac23 integral sin(u),du

Passo 4

Agora integramos sin(u). Lembrando que a primitiva de sin(u) é -cos(u), então
tfrac23 integral sin(u),du = tfrac23(-cos(u)) + C = -tfrac23 cos(u) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x pelo resgate de u: u = tfrac3x2. Assim obtemos a resposta final da integral. O resultado é -tfrac23cosl(tfrac3x2r) + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\bigl(\frac{3x}{2}\bigr)+C

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