Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
integral xraiz1+x d x;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral xraiz1+x,dx usando integração por substituição.

Passo 2

Vamos usar a ideia de escolher uma substituição que simplifique a raiz raiz1+x. Seja u = 1 + x. Então du = dx e também x = u - 1.

Passo 3

Substituindo na integral temos:
integral xraiz1+x,dx = integral u - 1raizu,du

Passo 4

Agora separamos a fração em duas potências de u:
u - 1raizu = uu^1/2 - 1u^1/2 = u^1/2 - u^-1/2

Passo 5

Então a integral vira
integral (u^1/2 - u^-1/2),du = integral u^1/2,du - integral u^-1/2,du

Passo 6

Integramos termo a termo usando integral u^n du = u^n+1n+1:
integral u^1/2 du = u^3/23/2 = 23u^3/2,
integral u^-1/2 du = u^1/21/2 = 2u^1/2

Passo 7

Portanto a primitiva em u é
23u^3/2 - 2u^1/2 + C

Passo 8

Voltando à variável original x com u=1+x, obtemos a resposta final.

Resposta

23(1+x)^3/2 - 2(1+x)^1/2 + C

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