Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de integração por partes.
integral r e^r / 2 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral r e^r / 2 , dr. Estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que correspondem a u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que usamos quando a integral é um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u e dv do nosso integrando r e^r / 2:
  • u = r (porque derivar r facilita)
  • dv = e^r / 2 , dr (deixar a parte exponencial para integrar)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u: du = dr
  • Integrando dv: integral e^r / 2 , dr. Para isso, fazemos uma substituição simples:
    • Deixe w = r/2, então dw = dr/2 ou dr = 2dw
    • A integral fica integral e^w cdot 2 , dw = 2e^w + C = 2e^r / 2 + C
    • Então, v = 2e^r / 2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral r e^r / 2 , dr = u v - integral v , du
Substituindo nossos valores:
= r cdot 2e^r / 2 - integral 2e^r / 2 cdot dr
= 2r e^r / 2 - 2 integral e^r / 2 , dr

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante integral e^r / 2 , dr que já sabemos ser 2e^r / 2:
2r e^r / 2 - 2 cdot 2e^r / 2 = 2r e^r / 2 - 4e^r / 2

Passo 6

Podemos simplificar colocando 2e^r / 2 em evidência:
2e^r / 2(r - 2)

Resposta

A integral integral r e^r / 2 , dr é igual a:
2e^r / 2(r - 2) + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados