Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
. Estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que correspondem a
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
A integração por partes é uma técnica que usamos quando a integral é um produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher
e
do nosso integrando
:
-
(porque derivar facilita) -
(deixar a parte exponencial para integrar)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
: - Integrando
: . Para isso, fazemos uma substituição simples: - Deixe
, então ou - A integral fica
- Então,
- Deixe
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo nossos valores:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral restante
que já sabemos ser
:
Passo 6
Podemos simplificar colocando
em evidência:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.