1. sumk=1^+infty(-1)^k+1 e^-k

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma infinita sumk=1^+infty(-1)^k+1e^-k, que é uma série geométrica alternante. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas infinitas para resolver.

Passo 2

Observando a forma da série, vemos que ela pode ser escrita como uma série geométrica com primeiro termo a = e^-1 (quando k=1) e razão r = -e^-1, pois cada termo é multiplicado por -e^-1 em relação ao anterior.

Passo 3

Para que uma série geométrica infinita convirja, é necessário ter |r| < 1. Aqui temos
|r| = |-e^-1| = e^-1 < 1
Como e^-1 approx 0,3679, a condição de convergência está satisfeita.

Passo 4

Aplicamos então a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo a = e^-1 e r = -e^-1:
S = e^-11 - (-e^-1) = e^-11 + e^-1

Passo 5

Basta simplificar essa expressão. Multiplicando numerador e denominador por e, obtemos:
e^-11 + e^-1 = 1e + 1

Resposta

1e+1

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