Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
, onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-a^a x^5 e^x^2 , dx, onde a > 0. A matéria aqui é sobre integrais definidas e vamos usar as propriedades de simetria das funções para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: É aquela onde f(-x) = f(x). Exemplo: e^x^2.
  • Função Ímpar: É aquela onde f(-x) = -f(x). Exemplo: x^5.

Passo 3

Quando multiplicamos uma função ímpar por uma par, o resultado é uma função ímpar. Vamos verificar:
f(x) = x^5 (ímpar) í
g(x) = e^x^2 (par)
f(x) cdot g(x) = x^5 e^x^2
f(-x) cdot g(-x) = (-x)^5 e^(-x)^2 = -x^5 e^x^2 = -f(x) cdot g(x)
Então, x^5 e^x^2 é uma função ímpar.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a, a] é zero. Isso porque a área positiva de um lado do eixo y cancela exatamente a área negativa do outro lado.

Resposta

Portanto,
integral-a^a x^5 e^x^2 , dx = 0

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