Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de integração por partes.
integral t^4 ln t d t

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de $ t^{4} \ln t $ em relação a $ t $. A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, uma técnica muito útil quando a integral é produto de duas funções. Vamos precisar identificar duas partes na nossa função que facilitem a aplicação dessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função vai ser $ u $ e qual vai ser $ dv $. Aqui, é melhor deixar o $ \ln t $ ser o $ u $ porque ele vai simplificar quando derivarmos, e o $ t^{4} $ será o $ dv $, que é fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
u
dv

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral t^4 ln t , dt = ln t cdot t^55 - integral t^55 cdot 1t dt

Passo 5

Simplificando a integral que ficou:
integral t^55 cdot 1t dt = 15 integral t^4 dt = 15 cdot t^55 = t^525
Agora, substituímos de volta na expressão:
integral t^4 ln t , dt = t^5 ln t5 - t^525 + C

Resposta

integral t^4 ln t , dt = t^5 ln t5 - t^525 + C

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