Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-pi / 2^pi / 2 tan^2(x) , dx. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, mais especificamente o uso de propriedades de simetria para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tan^2(x) se comporta em relação ao eixo y e como utilizar a simetria para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função tan^2(x). Sabemos que a tangente é uma função ímpar, ou seja, tan(-x) = -tan(x). Quando elevamos ao quadrado, a função se torna par, pois tan^2(-x) = tan^2(x). Funções pares têm simetria em relação ao eixo y, o que significa que a área de -a a 0 é igual à área de 0 a a.

Passo 3

Devido a essa simetria, podemos simplificar nossa integral definida de -pi/2 a pi/2 multiplicando por 2 a integral de 0 a pi/2. Ou seja:
integral-pi / 2^pi / 2 tan^2(x) , dx = 2 integral0^pi / 2 tan^2(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a integral de tan^2(x) em relação a x. Sabemos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Portanto, podemos reescrever a integral como:
integral tan^2(x) , dx = integral (sec^2(x) - 1) , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral sec^2(x) , dx - integral 1 , dx = tan(x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi/2:
2 [ tan(pi2) - pi2 - (tan(0) - 0) ]
Sabemos que tan(0) = 0, mas tan(pi2) tende ao infinito.

Passo 7

Isso significa que a integral tende a infinito. Portanto, a integral definida integral-pi / 2^pi / 2 tan^2(x) , dx não converge para um valor finito.

Resposta

A integral integral-pi / 2^pi / 2 tan^2(x) , dx não converge para um valor finito; ou seja, é divergente.

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