Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, mais especificamente o uso de propriedades de simetria para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta em relação ao eixo y e como utilizar a simetria para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que a tangente é uma função ímpar, ou seja,
. Quando elevamos ao quadrado, a função se torna par, pois
. Funções pares têm simetria em relação ao eixo y, o que significa que a área de
a
é igual à área de
a
.
Passo 3
Devido a essa simetria, podemos simplificar nossa integral definida de
a
multiplicando por 2 a integral de
a
. Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a integral de
em relação a
. Sabemos que
. Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
, mas
tende ao infinito.
Passo 7
Isso significa que a integral tende a infinito. Portanto, a integral definida
não converge para um valor finito.
Resposta
A integral
não converge para um valor finito; ou seja, é divergente.