Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida
usando propriedades de simetria. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve funções pares e ímpares, que nos ajudam a simplificar integrais simétricas. Vamos precisar identificar quais partes da função são pares ou ímpares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções pares e ímpares:
- Função par: satisfaz
. Exemplo: , . - Função ímpar: satisfaz
. Exemplo: , .
Na nossa integral, temos três termos dentro:
-
(ímpar) -
(ímpar) -
(par)
Passo 3
Sabendo disso, lembrando que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Já a integral de uma função par em
é o dobro da integral de
a
, já que a função é simétrica.
Aplicando isso:
-
(ímpar) -
(ímpar) -
(par)
Então, nossa integral original simplifica para apenas calcular
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Para isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
, então -
, então
Aplicando a fórmula:
Simplificando a segunda integral:
Então, temos:
Onde
é a constante de integração, que vamos ignorar ao calcular a integral definida.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que a nossa integral original era
, vamos multiplicar o resultado por 2:
Resposta
A integral vale
.