Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida integral-1^1(x^3-x^5+ln (1+x^2)) dx usando propriedades de simetria. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve funções pares e ímpares, que nos ajudam a simplificar integrais simétricas. Vamos precisar identificar quais partes da função são pares ou ímpares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções pares e ímpares:
  • Função par: satisfaz f(-x) = f(x). Exemplo: x^2, ln(1+x^2).
  • Função ímpar: satisfaz f(-x) = -f(x). Exemplo: x^3, x^5.
Na nossa integral, temos três termos dentro:
  1. x^3 (ímpar)
  2. -x^5 (ímpar)
  3. ln(1+x^2) (par)

Passo 3

Sabendo disso, lembrando que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a, a] é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Já a integral de uma função par em [-a, a] é o dobro da integral de 0 a a, já que a função é simétrica.
Aplicando isso:
  • integral-1^1 x^3 dx = 0 (ímpar)
  • integral-1^1 (-x^5) dx = 0 (ímpar)
  • integral-1^1 ln(1+x^2) dx = 2 integral0^1 ln(1+x^2) dx (par)
Então, nossa integral original simplifica para apenas calcular 2 integral0^1 ln(1+x^2) dx.

Passo 4

Agora, vamos calcular integral0^1 ln(1+x^2) dx. Para isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln(1+x^2), então du = 2x1+x^2 dx
  • dv = dx, então v = x
Aplicando a fórmula:
integral ln(1+x^2) dx = x ln(1+x^2) - integral x cdot 2x1+x^2 dx
Simplificando a segunda integral:
integral 2x^21+x^2 dx = 2 integral (1 - 11+x^2) dx = 2 ( x - arctan(x) )
Então, temos:
integral ln(1+x^2) dx = x ln(1+x^2) - 2x + 2 arctan(x) + C
Onde C é a constante de integração, que vamos ignorar ao calcular a integral definida.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 ln(1+x^2) dx = [ x ln(1+x^2) - 2x + 2 arctan(x) ]0^1
Substituindo os limites:
= (1 cdot ln(2) - 2 cdot 1 + 2 cdot pi4) - (0 - 0 + 0)
Simplificando:
= ln(2) - 2 + pi2

Passo 6

Lembrando que a nossa integral original era 2 integral0^1 ln(1+x^2) dx, vamos multiplicar o resultado por 2:
2 ( ln(2) - 2 + pi2 ) = 2 ln(2) - 4 + pi

Resposta

A integral vale pi + 2, ln(2) - 4.

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