Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(a^n-1 cdot raiz2+3 a^n) d a

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral a^n-1,raiz2+3a^n,da
usando a técnica de substituição. O tópico aqui é integração por substituição, pois temos composição de função do tipo 2+3a^n sob uma raiz e um fator a^n-1,da que remete à derivada de a^n.

Passo 2

Vamos definir a substituição de modo a simplificar a raiz. Seja
u = 2 + 3a^n
Diferenciando, temos
du = 3n,a^n-1,da
ou seja
a^n-1,da = du3n

Passo 3

Agora reescrevemos a integral em termos de u. Substituindo raiz2+3a^n=raizu e a^n-1,da=du/(3n), fica:
integral a^n-1raiz2+3a^n,da = integral raizu;du3n = 13nintegral u^1/2,du

Passo 4

Calculamos a integral de u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2 + C
Portanto,
13nintegral u^1/2,du = 13n;23u^3/2 + C = 29nu^3/2 + C

Passo 5

Retornando à variável a usando u=2+3a^n, obtemos a antiderivada:
29n,(2+3a^n)^3/2 + C

Resposta

29n,(2+3a^n)^3/2 + C

Exercícios relacionados