Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(q-1)(q^2-2 q)^4 d q

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral indefinida integral (q-1)(q^2-2q)^4,dq usando integração por substituição. O conteúdo envolve identificar uma expressão cujo diferencial aparece multiplicando.

Passo 2

Definimos a substituição u = q^2 - 2q. Agora vamos encontrar du:
Ao derivar, temos
du = (2q - 2),dq = 2(q-1),dq

Passo 3

Isolando (q-1),dq em função de du, obtemos (q-1),dq = tfracdu2. Substituindo na integral original, ela vira:
integral (q-1)(q^2 - 2q)^4,dq = integral u^4 cdot du2 = tfrac12 integral u^4,du

Passo 4

Agora integramos em u. A primitiva de u^4 é tfracu^55. Então:
tfrac12 integral u^4,du = tfrac12 cdot tfracu^55 + C = tfracu^510 + C

Passo 5

Voltando à variável original q, substituindo u = q^2 - 2q, obtemos a expressão final: tfrac(q^2-2q)^510 + C.

Resposta

(q^2 - 2q)^510 + C

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