Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral q raiz1-2 q^2 d q

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral q,raiz1-2q^2,dq usando a técnica de substituição, que é um método para lidar com funções compostas identificando uma parte cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Observando o integrando qraiz1-2q^2, percebemos que a expressão interna da raiz, 1-2q^2, é uma boa candidata para a substituição. Definimos
u = 1 - 2q^2

Passo 3

Agora derivamos u em relação a q:
du = ddq(1 - 2q^2),dq = -4q,dq
Isso nos permite reescrever q,dq em termos de du:
q,dq = -tfrac14,du

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral qraiz1-2q^2,dq = integral raizu;l(-tfrac14r),du = -tfrac14integral u^12,du

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^1/2:
-tfrac14integral u^12,du = -tfrac14cdot u^32tfrac32 + C = -tfrac16u^tfrac32 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original q substituindo u = 1 - 2q^2. Assim, a antiderivada fica:
-tfrac16l(1 - 2q^2r)^tfrac32 + C

Resposta

-\frac{1}{6}\bigl(1 - 2q2\bigr){3/2} + C

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