Sejam f1(x)=raiz[9]x+2, f2(x)=9-x^2, f3(x)=sen(x+5), f4(x)=e^x+7 e f5(x)=ln (1-x).
Encontre a função e seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá cinco funções diferentes e pede para encontrarmos o domínio de cada uma delas. O domínio é simplesmente o conjunto de todos os valores que podem ser inseridos na função sem causar problemas, como raízes de números negativos ou logaritmos de números não positivos. Para resolver isso, vamos olhar cada função individualmente e determinar quais valores de $ x $ são permitidos.

Passo 2

Função 1: $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x+2} $
Aqui temos uma raiz de índice ímpar. Sabia que raízes de índice ímpar aceitam qualquer número real? Isso porque podemos tirar a raiz de números positivos ou negativos sem problemas. Então, para $ x + 2 $, não há restrições. Portanto, o domínio dessa função é todos os números reais.

Passo 3

Função 2: $ f_{2}(x) = 9 - x^{2} $
Essa é uma função polinomial. As funções polinomiais, como quadráticas, não têm restrições no domínio. Podemos colocar qualquer valor real de $ x $ que quisermos, e a função vai funcionar direitinho.

Passo 4

Função 3: $ f_{3}(x) = \operatorname{sen}(x+5) $
Aqui temos uma função seno. As funções trigonométricas, como o seno, também não têm restrições no domínio. Podemos inserir qualquer ângulo (em radianos) e obteremos um resultado válido.

Passo 5

Função 4: $ f_{4}(x) = e^{x+7} $
Esta é uma função exponencial. Funções do tipo $ e^{u} $ aceitam qualquer número real para $ u $. Não há valores de $ x $ que causem problemas aqui.

Passo 6

Função 5: $ f_{5}(x) = \ln(1 - x) $
Agora, o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Ou seja, $ 1 - x $ precisa ser maior que zero:
f5(x) = ln(1 - x)
Resolvendo essa inequação:
1 - x
1 - x > 0
Então, o domínio dessa função é todos os números reais menores que 1.

Resposta

  • $ f_{1}(x) = \sqrt[9]{x+2} $: Domínio $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)
  • $ f_{2}(x) = 9 - x^{2} $: Domínio $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)
  • $ f_{3}(x) = \operatorname{sen}(x+5) $: Domínio $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)
  • $ f_{4}(x) = e^{x+7} $: Domínio $ \mathbb{R} $ (todos os números reais)
  • $ f_{5}(x) = \ln(1 - x) $: Domínio $ x < 1 $

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