Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(4 xraiz[3]2 x^2+7) d x

Passo 1

Nesse exercício temos a integral indefinida integral 4xraiz[3]2x^2+7,dx. O conteúdo aqui é a técnica de substituição, que serve para simplificar a expressão interna de uma função composta.

Passo 2

Observa que o denominador envolve 2x^2+7. Então fazemos a substituição u = 2x^2 + 7. Derivando ambos os lados em relação a x temos du = 4x,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que 4x,dx = du e raiz[3]2x^2+7 = u^1/3. Assim a integral vira
integral 4xraiz[3]2x^2+7,dx = integral 1u^1/3,du = integral u^-1/3,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: se integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C. Aqui n = -tfrac13, então n+1 = tfrac23. Logo
integral u^-1/3,du = u^2/32/3 + C = 32,u^2/3 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original: u = 2x^2 + 7. A resposta da integral é
32,(2x^2+7)^2/3 + C

Resposta

\frac{3}{2}(2x2+7){2/3} + C

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