Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral raizx^2-1x d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raizx^2-1x,dx usando substituição. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar conhecer a substituição x = sec(theta) para lidar com raizx^2 - 1.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica x = sec(theta), válida para x>=1. Dessa forma raizx^2 - 1 = tan(theta) e dx = sec(theta)tan(theta),dtheta.
Substituímos na integral:
integral raizx^2-1x,dx = integral tan(theta)sec(theta)cdotl(sec(theta)tan(theta)r),dtheta = integral tan^2(theta),dtheta

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica tan^2(theta)=sec^2(theta)-1 e integramos:
integral tan^2(theta),dtheta = integral (sec^2(theta)-1),dtheta = tan(theta)-theta + C

Passo 4

Voltamos à variável x. Como tan(theta)=raizx^2-1 e , obtemos:

Resposta

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