Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral x^2 raizx^2-1 d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2raizx^2-1,dx usando substituição. O conteúdo principal é a substituição trigonométrica para eliminar a raiz de x^2-1, além de integrais de potências de secante que resolvemos por partes.

Passo 2

Vamos usar a substituição x=sectheta. Assim, temos:
dx=secthetatantheta,dtheta, raizx^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta
Substituindo na integral:
integral x^2raizx^2-1,dx=integral sec^2theta,tanthetacdot(secthetatantheta),dtheta=integral sec^3theta,tan^2theta,dtheta

Passo 3

Como tan^2theta=sec^2theta-1, a integral vira
integral sec^3theta,(sec^2theta-1),dtheta=integral(sec^5theta-sec^3theta),dtheta
Então precisamos de I3=integralsec^3theta,dtheta e I5=integralsec^5theta,dtheta.

Passo 4

Para I3=integralsec^3theta,dtheta usamos integração por partes:
Escolhemos u=sectheta, dv=sec^2theta,dtheta. Então
du=secthetatantheta,dtheta e v=tantheta.
Resulta em
I3=secthetatantheta-integraltanthetacdotsecthetatantheta,dtheta=secthetatantheta-integralsecthetatan^2theta,dtheta
Novamente tan^2theta=sec^2theta-1, daí
I3=secthetatantheta-integral(sec^3theta-sectheta),dtheta=secthetatantheta-I3+integralsectheta,dtheta
Como integralsectheta,dtheta=ln|sectheta+tantheta|, obtemos
2I3=secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta| Longrightarrow I3=tfrac12secthetatantheta+tfrac12ln|sectheta+tantheta|

Passo 5

Agora I5=integralsec^5theta,dtheta. Fazemos partes com u=sec^3theta, dv=sec^2theta,dtheta. Logo
du=3sec^3thetatantheta,dtheta, v=tantheta.
Isso dá
I5=sec^3thetatantheta-3integralsec^3thetatan^2theta,dtheta =sec^3thetatantheta-3integralsec^3theta(sec^2theta-1),dtheta
Expandindo e isolando I5:
I5=sec^3thetatantheta-3I5+3I3 Longrightarrow 4I5=sec^3thetatantheta+3I3
Substituindo I3 e resolvendo, resulta em
I5=tfrac14sec^3thetatantheta+tfrac38secthetatantheta+tfrac38ln|sectheta+tantheta|

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
integral(sec^5theta-sec^3theta),dtheta=I5-I3 =l(tfrac14sec^3thetatantheta+tfrac38secthetatantheta+tfrac38ln|sectheta+tantheta|r) -l(tfrac12secthetatantheta+tfrac12ln|sectheta+tantheta|r)
Simplificando coeficientes, obtemos
tfrac14sec^3thetatantheta-tfrac18secthetatantheta-tfrac18ln|sectheta+tantheta|+C

Passo 7

Finalmente, voltando para x com sectheta=x e tantheta=raizx^2-1, a resposta é
boxedtfrac14x^3raizx^2-1-tfrac18xraizx^2-1-tfrac18lnl|x+raizx^2-1r|+C

Resposta

\tfrac14x{3}\sqrt{x{2}-1}-\tfrac18x\sqrt{x{2}-1}-\tfrac18\ln\bigl|x+\sqrt{x{2}-1}\bigr|+C

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