Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando substituição. O conteúdo principal é a substituição trigonométrica para eliminar a raiz de
, além de integrais de potências de secante que resolvemos por partes.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. Assim, temos:
Substituindo na integral:
Passo 3
Como
, a integral vira
Então precisamos de
e
.
Passo 4
Para
usamos integração por partes:
Escolhemos ,
. Então
e
.
Resulta em
Escolhemos
Resulta em
Novamente
, daí
Como
, obtemos
Passo 5
Agora
. Fazemos partes com
,
. Logo
,
.
Isso dá
Isso dá
Expandindo e isolando
:
Substituindo
e resolvendo, resulta em
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Simplificando coeficientes, obtemos
Passo 7
Finalmente, voltando para
com
e
, a resposta é
Resposta
\tfrac14x{3}\sqrt{x{2}-1}-\tfrac18x\sqrt{x{2}-1}-\tfrac18\ln\bigl|x+\sqrt{x{2}-1}\bigr|+C