Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral x^2 cdot raizx^3-2 d x

Passo 1

A integral que queremos resolver é integral x^2 raizx^3 - 2,dx. Esse problema envolve o método de substituição em integrais, pois identificamos uma função composta raizx^3 - 2 cuja derivada interna aparece multiplicando no integrando. Vamos usar a técnica de substituição e depois a regra de potência para concluir o cálculo.

Passo 2

Definimos a substituição para simplificar a parte interna da raiz:
u = x^3 - 2, du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3
Substituindo na integral original, expressamos tudo em termos de u:
integral x^2 raizx^3 - 2,dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^tfrac12,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^1/2. Lembrando que integral u^n,du = u^n+1n+1 + C, temos:
13 integral u^tfrac12,du = 13 cdot u^tfrac32tfrac32 = 29 u^tfrac32

Passo 4

Por fim, reverte-se a substituição retornando à variável x e adiciona-se a constante de integração C.

Resposta

29(x^3 - 2)^3/2 + C

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