Uma partícula é submetida a uma aceleração total dada por
, onde
está em metros,
é uma constante e a partícula pode movimentar-se em
, com
. Se a partícula é liberada do repouso em
, determine: a) a velocidade da partícula quando ela atinge
) o tempo que leva para viajar de
até
e c) A função energia potencial
, se
, com
uma constante. (Valor: 6 ptos)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula que está sendo acelerada de acordo com a equação $ a(x) = c \sqrt{x} $, onde $ x $ está em metros, $ c $ é uma constante positiva, e a partícula se move entre $ x = 0 $ e $ x = L $. A partícula começa do repouso em $ x = 0 $. Vamos resolver as três partes do exercício utilizando os conceitos de movimento com aceleração variável. Vamos precisar usar as relações entre aceleração, velocidade e posição, bem como noções de energia potencial.
Passo 2
a) Encontrar a velocidade da partícula quando ela atinge $ x = L $.
Primeiro, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: $ a = \frac{dv}{dt} $. Mas como a aceleração está expressa em termos de $ x $, vamos usar a relação $ a = v \frac{dv}{dx} $. Essa relação nos permite ligar a aceleração e a velocidade diretamente em função de $ x $.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis e integrar para encontrar a velocidade em função de $ x $.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Como a partícula parte do repouso em $ x = 0 $, quando $ x = 0 $, $ v = 0 $. Substituindo na equação para encontrar a constante $ C $:
Portanto:
Tomando a raiz:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a velocidade quando $ x = L $:
Passo 5
b) Determinar o tempo que leva para a partícula viajar de $ x = 0 $ até $ x = L $.
Sabemos que $ v = \frac{dx}{dt} $. Já temos $ v $ em função de $ x $, então podemos escrever:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados de $ x = 0 $ a $ x = L $ para encontrar o tempo total $ T $:
Passo 6
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 7
c) Determinar a função de energia potencial $ V(x) $, sabendo que $ V(0) = V_0 $.
A energia total $ E $ de uma partícula é dada por:
Onde $ K $ é a energia cinética e $ V $ é a energia potencial.
No movimento conservativo, a energia total é constante. Podemos usar a relação entre força, energia potencial e trabalho realizado pela força para encontrar $ V(x) $.
Sabemos que a força $ F $ está relacionada à aceleração por $ F = m a(x) $, e também que $ F = -\frac{dV}{dx} $. Igualando as duas expressões:
Vamos integrar para encontrar $ V(x) $:
Integrando:
Como $ V(0) = V_0 $:
Portanto:
Resposta
a) A velocidade da partícula em $ x = L $ é $ v = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{c} , L^{3/4} $.
b) O tempo necessário para viajar de $ x = 0 $ até $ x = L $ é $ T = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{c}} , L^{1/4} $.
c) A função de energia potencial é $ V(x) = V_0 - \frac{2}{3} m c , x^{3/2} $.