Uma partícula é submetida a uma aceleração total dada por a(x)=c raizx, onde x está em metros, c>0 é uma constante e a partícula pode movimentar-se em x in[0, L], com L>0. Se a partícula é liberada do repouso em x=0, determine: a) a velocidade da partícula quando ela atinge x=L, b ) o tempo que leva para viajar de x=0 até x=L e c) A função energia potencial V(x), se V(0)=V0, com V0 uma constante. (Valor: 6 ptos)

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que está sendo acelerada de acordo com a equação $ a(x) = c \sqrt{x} $, onde $ x $ está em metros, $ c $ é uma constante positiva, e a partícula se move entre $ x = 0 $ e $ x = L $. A partícula começa do repouso em $ x = 0 $. Vamos resolver as três partes do exercício utilizando os conceitos de movimento com aceleração variável. Vamos precisar usar as relações entre aceleração, velocidade e posição, bem como noções de energia potencial.

Passo 2

a) Encontrar a velocidade da partícula quando ela atinge $ x = L $.
Primeiro, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: $ a = \frac{dv}{dt} $. Mas como a aceleração está expressa em termos de $ x $, vamos usar a relação $ a = v \frac{dv}{dx} $. Essa relação nos permite ligar a aceleração e a velocidade diretamente em função de $ x $.
Então, temos:
x = L
Vamos separar as variáveis e integrar para encontrar a velocidade em função de $ x $.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
v , dv = c raizx , dx
Integrando ambos os lados:
integral v , dv = c integral raizx , dx
Calculando as integrais:
v^22 = 2c3 x^3/2 + C
Como a partícula parte do repouso em $ x = 0 $, quando $ x = 0 $, $ v = 0 $. Substituindo na equação para encontrar a constante $ C $:
x = 0
Portanto:
x = 0
Tomando a raiz:
v = 0

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade quando $ x = L $:
x = L

Passo 5

b) Determinar o tempo que leva para a partícula viajar de $ x = 0 $ até $ x = L $.
Sabemos que $ v = \frac{dx}{dt} $. Já temos $ v $ em função de $ x $, então podemos escrever:
x = 0
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
x = L
Agora, integramos ambos os lados de $ x = 0 $ a $ x = L $ para encontrar o tempo total $ T $:
v = dxdt

Passo 6

Calculando a integral:
integral x^-3/4 , dx = x^1/41/4 = 4 x^1/4
Portanto:
T = raiz32 raizc [4 L^1/4 - 4 (0)^1/4] = 4 raiz32 raizc L^1/4 = 2 raiz3raizc L^1/4

Passo 7

c) Determinar a função de energia potencial $ V(x) $, sabendo que $ V(0) = V_0 $.
A energia total $ E $ de uma partícula é dada por:
V(x)
Onde $ K $ é a energia cinética e $ V $ é a energia potencial.
No movimento conservativo, a energia total é constante. Podemos usar a relação entre força, energia potencial e trabalho realizado pela força para encontrar $ V(x) $.
Sabemos que a força $ F $ está relacionada à aceleração por $ F = m a(x) $, e também que $ F = -\frac{dV}{dx} $. Igualando as duas expressões:
V(0) = V0
Vamos integrar para encontrar $ V(x) $:
E
Integrando:
E = K + V
Como $ V(0) = V_0 $:
K
Portanto:
V

Resposta

a) A velocidade da partícula em $ x = L $ é $ v = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{c} , L^{3/4} $.
b) O tempo necessário para viajar de $ x = 0 $ até $ x = L $ é $ T = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{c}} , L^{1/4} $.
c) A função de energia potencial é $ V(x) = V_0 - \frac{2}{3} m c , x^{3/2} $.

Exercícios relacionados