Questão 02
Apresente o domínio da seguinte função vetorial:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial definida por:
Conteúdo da matéria: Para encontrar o domínio dessa função, precisamos determinar todos os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ que tornam a função bem definida.
O que vamos precisar: Entender as restrições que as operações matemáticas dentro da função impõem aos valores de $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Vamos analisar cada componente da função para identificar possíveis restrições.
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Primeira componente: $ x^{2} y \vec{\imath} $
- Aqui, temos um polinômio ($ x^{2} y $) que é definido para todos os números reais. Não há restrições para $ x $ e $ y $ nessa parte.
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Segunda componente: $ y \vec{\jmath} $
- Novamente, temos uma expressão linear em $ y $, que também está definida para todos os números reais. Nenhuma restrição adicional aqui.
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Terceira componente: $ \sqrt{z} \vec{k} $
- A raiz quadrada ($ \sqrt{z} $) só é definida para números reais não negativos, ou seja, $ z \geq 0 $.
Passo 3
Com base na análise anterior, a única restrição vem da terceira componente da função, que exige que $ z $ seja maior ou igual a zero.
Não há restrições para $ x $ e $ y $, portanto, eles podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Agora, vamos expressar o domínio da função levando em conta essa restrição.
O domínio $ D $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y, z) $ em $ \mathbb{R}^3 $ tais que $ z \geq 0 $.