Dê exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(1) limitada e crescente,
(2) limitada e decrescente,
(3) limitada e não monótona,
(4) não limitada e não crescente,
(5) monótona e não limitada,
(6) limitada e não monótona que possui uma subsequência crescente,
(7) limitada e não monótona que possui uma subsequência decrescente,
(8) sequência divergente que possui uma subsequência limitada.
(1) limitada e crescente,
(2) limitada e decrescente,
(3) limitada e não monótona,
(4) não limitada e não crescente,
(5) monótona e não limitada,
(6) limitada e não monótona que possui uma subsequência crescente,
(7) limitada e não monótona que possui uma subsequência decrescente,
(8) sequência divergente que possui uma subsequência limitada.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de sequências não constantes para ilustrar diferentes combinações de propriedades (limitada, monotonia, divergência e existência de subsequências). Vamos recorrer às definições de sequência, limite, monotonicidade e subsequência para indicar, em cada caso, um an simples de construir e verificar.
Passo 2
Uma sequência limitada e crescente: definimos
. Observamos que
, logo é crescente. Além disso
para todo
, então é limitada.
Passo 3
Uma sequência limitada e decrescente: tomamos
. A diferença
mostra que é decrescente, e satisfaz
, isto é, é limitada.
Passo 4
Uma sequência limitada e não monótona: escolhemos
. Como oscila entre
e
, não é monotônica, mas fica entre
e
, então é limitada.
Passo 5
Uma sequência não limitada e não crescente: basta
. Aqui
impede qualquer limite finito, e a troca de sinal impede monotonia.
Passo 6
Uma sequência monótona e não limitada: a clássica
é estritamente crescente e
, logo não é limitada.
Passo 7
Uma sequência limitada e não monótona que possui uma subsequência crescente: definimos
. Ela oscila e é limitada em
. A subsequência dos termos pares é
, que satisfaz
, ou seja, é crescente.
Passo 8
Uma sequência limitada e não monótona que possui uma subsequência decrescente: tomamos
. Também fica em
e não é monotônica, mas a subsequência dos termos pares é
, que decresce quando
cresce.
Passo 9
Uma sequência divergente que possui uma subsequência limitada: definimos
Para
Resposta
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)