Dê exemplo de uma sequência an, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(1) limitada e crescente,
(2) limitada e decrescente,
(3) limitada e não monótona,
(4) não limitada e não crescente,
(5) monótona e não limitada,
(6) limitada e não monótona que possui uma subsequência crescente,
(7) limitada e não monótona que possui uma subsequência decrescente,
(8) sequência divergente que possui uma subsequência limitada.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de sequências não constantes para ilustrar diferentes combinações de propriedades (limitada, monotonia, divergência e existência de subsequências). Vamos recorrer às definições de sequência, limite, monotonicidade e subsequência para indicar, em cada caso, um an simples de construir e verificar.

Passo 2

Uma sequência limitada e crescente: definimos an=1-tfrac1n. Observamos que an+1-an=l(1-tfrac1n+1r)-l(1-tfrac1nr)=tfrac1n-tfrac1n+1>0, logo é crescente. Além disso 0 para todo n, então é limitada.

Passo 3

Uma sequência limitada e decrescente: tomamos an=tfrac1n. A diferença an+1-an=tfrac1n+1-tfrac1n<0 mostra que é decrescente, e satisfaz 0, isto é, é limitada.

Passo 4

Uma sequência limitada e não monótona: escolhemos an=(-1)^n. Como oscila entre 1 e -1, não é monotônica, mas fica entre -1 e 1, então é limitada.

Passo 5

Uma sequência não limitada e não crescente: basta an=(-1)^n n. Aqui |an|=nto+infty impede qualquer limite finito, e a troca de sinal impede monotonia.

Passo 6

Uma sequência monótona e não limitada: a clássica an=n é estritamente crescente e anto+infty, logo não é limitada.

Passo 7

Uma sequência limitada e não monótona que possui uma subsequência crescente: definimos an=(-1)^n+(-1)^n+1/n. Ela oscila e é limitada em [-1,1]. A subsequência dos termos pares é a2k=1-1/(2k), que satisfaz a2(k+1)>a2k, ou seja, é crescente.

Passo 8

Uma sequência limitada e não monótona que possui uma subsequência decrescente: tomamos an=(-1)^n+(-1)^n/n. Também fica em [-1,1] e não é monotônica, mas a subsequência dos termos pares é a2k=1+1/(2k), que decresce quando k cresce.

Passo 9

Uma sequência divergente que possui uma subsequência limitada: definimos
an=n,&se n é par,0,&se n é ímparééí
Para n par, an=nto+infty impede convergência; para n ímpar, an=0 forma uma subsequência constante (logo limitada).

Resposta

(1) an=1-tfrac1n
(2) an=tfrac1n
(3) an=(-1)^n
(4) an=(-1)^n,n
(5) an=n
(6) an=(-1)^n+(-1)^n+1/n
(7) an=(-1)^n+(-1)^n/n
(8) an=n,&se n é par,0,&se n é ímparééí

Exercícios relacionados