A temperatura de um escritório é controlada por um termostato e varia de acordo com a função senoidal y, onde x é a temperatura, em graus Celsius, e é o tempo, em horas, contado a partir da meia noite.
(a) Qual será a temperatura no escritório às 9 horas da manhã, quando os empregados chegam para trabalhar?
(b) Determine quais serão as temperaturas máxima e minima no escritório e os horários em que elas ocorrem.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura controlada por uma função senoidal: y=21+6sinl(tfracpi12(x-1)r), onde x é a hora do dia (contada desde meia-noite) e y é a temperatura em °C. Aqui a amplitude é 6°C, a linha média é 21°C, o período é T=24 h (porque 2pi/(pi/12)=24) e há um deslocamento para a direita de 1 h. Vamos usar isso para (a) calcular y(9) e (b) achar os valores máximos e mínimos e quando ocorrem.

Passo 2

Para (a), substituímos x=9 na fórmula:
y(9)=21+6sinl(tfracpi12(9-1)r)=21+6sinl(tfrac8pi12r)=21+6sinl(tfrac2pi3r)=21+6cdottfracraiz32=21+3raiz3approx26,20,°C

Passo 3

Para (b), a função atinge máximos quando a parte senoidal vale +1 e mínimos quando vale −1. Como y=21+6sin(ldots), temos
  • ymax=21+6=27,°C
  • ymin=21-6=15,°C

Passo 4

Para achar o horário do máximo, basta resolver
pi12(x-1)=pi2+2pi kLongrightarrow x-1=6+24kLongrightarrow x=7+24k
No mesmo dia, escolhemos k=0, então o máximo ocorre às 7 h.

Passo 5

Para achar o horário do mínimo, resolvemos
pi12(x-1)=3pi2+2pi kLongrightarrow x-1=18+24kLongrightarrow x=19+24k
Com k=0, o mínimo ocorre às 19 h.

Resposta

(a) y(9)=21+3raiz3approx26,20,°C (b) Temperatura máxima de 27 °C às 7 h; temperatura mínima de 15 °C às 19 h.

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