(1,0 ponto)Se
é o potencial elétrico em um ponto
no plano
, então as curvas de nível de
são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função que descreve o potencial elétrico $ V(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $ no plano $ xy $. O que precisamos fazer é encontrar as curvas onde esse potencial é constante, ou seja, as curvas equipotenciais. Essas curvas são importantes porque mostram onde o potencial elétrico não muda, o que é útil para entender como as cargas elétricas interagem nesse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva equipotencial. Se $ V(x, y) = C $, onde $ C $ é uma constante, então todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem essa equação estão na mesma curva equipotencial. Nosso objetivo é encontrar a forma dessa curva.
Passo 3
Vamos começar igualando o potencial a uma constante $ C $:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $.
Passo 4
Primeiro, invertemos ambos os lados da equação para facilitar:
Em seguida, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar $ x^{2} + y^{2} $:
Essa equação está na forma de uma circunferência, onde $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $, sendo $ r $ o raio.
Passo 6
Então, a equação $ x^{2} + y^{2} = 1 - \frac{1}{C^{2}} $ representa uma circunferência com centro na origem
e raio $ \sqrt{1 - \frac{1}{C^{2}}} $. Isso significa que, para cada valor constante de $ C $, temos uma circunferência diferente como curva equipotencial.
Passo 7
Importante lembrar que $ 1 - \frac{1}{C^{2}} $ deve ser positivo para que o raio seja um número real. Isso implica que $ C^{2} > 1 $, ou seja, $ |C| > 1 $. Portanto, as curvas equipotenciais só existem para valores de $ C $ com módulo maior que 1.
Resposta
As curvas equipotenciais de $ V(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} $ são circunferências centradas na origem com raio $ \sqrt{1 - \frac{1}{C^{2}}} $, onde $ |C| > 1 $. Ou seja, para cada constante $ C $ maior que 1, temos uma circunferência específica representando uma curva equipotencial.