Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral xx^2+4 x+8 d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral xx^2+4x+8,dx usando substituição. O conteúdo envolve integrais que resultam em logaritmo e arco-tangente; vamos precisar completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Observando o denominador, fazemos o passo de completar o quadrado:
x^2+4x+8=(x+2)^2+4
Isso facilita ver duas partes: uma que gera logaritmo e outra que gera arco-tangente.

Passo 3

Reescrevemos o numerador separando x=(x+2)-2, então
integral x(x+2)^2+4,dx=integral x+2(x+2)^2+4,dx-2integral 1(x+2)^2+4,dx

Passo 4

Para o primeiro termo, usamos a substituição w=(x+2)^2+4. Assim dw=2(x+2),dx, logo
integral x+2(x+2)^2+4,dx=12integral dww=12ln|w|+C1=12lnl((x+2)^2+4r)+C1

Passo 5

Para o segundo termo, aplicamos a fórmula integral duu^2+a^2=1aarctanl(tfrac uar)+C com u=x+2 e a=2:
$$\int \frac{1}{(x+2)^{2}+4},dx=\frac{1}{2}\arctan!
\bigl(\tfrac{x+2}{2}\bigr)+C_{2}.$$

Passo 6

Juntando os dois resultados e absorvendo constantes em um único C, temos
integral xx^2+4x+8,dx=12lnl((x+2)^2+4r)-arctanl(tfracx+22r)+C

Resposta

12lnl((x+2)^2+4r)-arctanl(tfracx+22r)+C

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