Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando substituição. O conteúdo envolve integrais que resultam em logaritmo e arco-tangente; vamos precisar completar o quadrado no denominador.
Passo 2
Observando o denominador, fazemos o passo de completar o quadrado:
Isso facilita ver duas partes: uma que gera logaritmo e outra que gera arco-tangente.
Passo 3
Reescrevemos o numerador separando
, então
Passo 4
Para o primeiro termo, usamos a substituição
. Assim
, logo
Passo 5
Para o segundo termo, aplicamos a fórmula
com
e
:
$$\int \frac{1}{(x+2)^{2}+4},dx=\frac{1}{2}\arctan!
\bigl(\tfrac{x+2}{2}\bigr)+C_{2}.$$
Passo 6
Juntando os dois resultados e absorvendo constantes em um único
, temos