Calcule as integrais indefinidas utilizando as substituições dadas. integral 28(7 x-2)^-5 d x, u=7 x-2

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Esse tipo de integral envolve uma substituição, onde a gente vai trocar uma parte da expressão por uma nova variável para facilitar o cálculo. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição que vamos usar. O enunciado já sugere que usemos . Isso é bom porque a expressão dentro do parêntese pode ser simplificada com essa substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 7 em relação a du = 7,dx Rightarrow dx = du7 para encontrar . Se , então:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral 28(7x - 2)^-5 , dx = integral 28u^-5 cdot du7 e 28 div 7 = 4 na integral original:
4 integral u^-5 , du
Simplificando os constantes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) em relação a integral u^-5 , du = u^-4-4 + C = -14u^-4 + C . A regra da integração para potências de é:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral:
4 integral u^-5 , du = 4 ( -14u^-4 ) + C = -u^-4 + C

Passo 7

Finalmente, vamos voltar à variável original - u^-4 + C = - (7x - 2)^-4 + C , substituindo :

Resposta

A integral indefinida é .

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