Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando integração por partes, um método que se baseia na fórmula
.
Passo 2
Vamos tentar aplicar partes escolhendo . Então temos
$$
$$
$$
Aplicando
obtemos
$$
I=\frac{1}{\ln x}\cdot\ln x - \int \ln x\Bigl(-\tfrac{1}{x(\ln x)^2}\Bigr)dx
=1 + \int \frac{1}{x\ln x},dx
=1+I.
$$
I=\frac{1}{\ln x}\cdot\ln x - \int \ln x\Bigl(-\tfrac{1}{x(\ln x)^2}\Bigr)dx
=1 + \int \frac{1}{x\ln x},dx
=1+I.
$$
Isso leva a
e não isola
, mostrando que partes não é eficiente aqui.
Passo 3
Dado esse impasse, recorremos à substituição simples. Seja
. Então
e a integral vira
$$
I=\int \frac{1}{x\ln x},dx = \int \frac{1}{t},dt.
$$
I=\int \frac{1}{x\ln x},dx = \int \frac{1}{t},dt.
$$
Passo 4
Agora usamos a regra da integral do recíproco:
.
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original:
, logo
$$
I=\ln\bigl|\ln x\bigr| + C.
$$
I=\ln\bigl|\ln x\bigr| + C.
$$