Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
integral 1x ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral usando integração por partes, um método que se baseia na fórmula .

Passo 2

Vamos tentar aplicar partes escolhendo . Então temos
$$
u=tfrac1ln x, & dv=tfracdxx, du=-tfrac1x(ln x)^2,dx, & v=ln x
$$
Aplicando I=1ln xcdotln x - integral ln xl(-tfrac1x(ln x)^2r)dx =1 + integral 1xln x,dx =1+I obtemos
$$
I=\frac{1}{\ln x}\cdot\ln x - \int \ln x\Bigl(-\tfrac{1}{x(\ln x)^2}\Bigr)dx
=1 + \int \frac{1}{x\ln x},dx
=1+I.
$$
Isso leva a e não isola , mostrando que partes não é eficiente aqui.

Passo 3

Dado esse impasse, recorremos à substituição simples. Seja I=integral 1xln x,dx = integral 1t,dt . Então e a integral vira
$$
I=\int \frac{1}{x\ln x},dx = \int \frac{1}{t},dt.
$$

Passo 4

Agora usamos a regra da integral do recíproco: .

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original: I=lnl|ln xr| + C , logo
$$
I=\ln\bigl|\ln x\bigr| + C.
$$

Resposta

lnl|ln xr| + C

Exercícios relacionados