Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral sin (2 x) cos ^2(2 x) d x=-cos ^3(2 x)6+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin(2x),cos^2(2x),dx usando técnicas de cálculo de primitiva. O conteúdo principal é integração por substituição (regra da cadeia) e vamos precisar lembrar que a derivada de cos(2x) envolve sin(2x).

Passo 2

Fazemos a substituição u = cos(2x). Então
du = -2sin(2x),dx Longrightarrow sin(2x),dx = -tfrac12,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral sin(2x),cos^2(2x),dx = integral u^2l(sin(2x),dxr) = integral u^2l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral u^2,du

Passo 4

Agora integramos em u:
-tfrac12 integral u^2,du = -tfrac12 cdot u^33 + C = -u^36 + C

Passo 5

Voltando à variável x:
-u^36 + C = -cos^3(2x)6 + C

Resposta

-\frac{\cos^3(2x)}{6}+C

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