Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral y+2y^2+4 y d y=ln (y^2+4 y)2+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral y+2y^2+4y,dy e mostrar que ela equivale a tfrac12ln(y^2+4y)+C. O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição u = y^2+4y. Então derivando ambos os lados, temos du = (2y+4),dy = 2(y+2),dy. Isso implica (y+2),dy = tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral y+2y^2+4y,dy = integral 1u cdot 12,du = tfrac12 integral duu = tfrac12ln|u| + C
Voltando a variável original y, obtemos tfrac12ln(y^2+4y) + C.

Resposta

lnl(y^2+4yr)2 + C

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