Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
integral xraizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral xraizx+1,dx usando a técnica de integração por partes. Esse conteúdo faz parte de técnicas de integração e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
além de saber calcular antiderivadas de potências.

Passo 2

Primeiro escolhemos as partes de forma a simplificar o numerador. Definimos
u = x, dv = (x+1)^-1/2,dx
Então
tu temos
du = dx e v = integral (x+1)^-1/2,dx
Para achar v fazemos a substituição t = x+1, dt = dx:
v = integral t^-1/2 ,dt = 2,t^1/2 = 2(x+1)^1/2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral xraizx+1,dx = u,v - integral v,du = 2x(x+1)^1/2 - integral 2(x+1)^1/2 ,dx
Fica então calcular
integral 2(x+1)^1/2 ,dx = 2 integral (x+1)^1/2 ,dx
Usando novamente a substituição t=x+1, obtemos
2 integral t^1/2 ,dt = 2 cdot 23 t^3/2 = 43(x+1)^3/2

Passo 4

Substituindo de volta e juntando tudo, a integral fica
integral xraizx+1,dx = 2x(x+1)^1/2 - 43(x+1)^3/2 + C
Podemos também fatorar (x+1)^1/2, mas essa forma já está correta e completa.

Resposta

2xraizx+1 - tfrac43(x+1)^3/2 + C

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