Calcule a integral
, onde
é a região entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla de
sobre a região
entre dois círculos de centros na origem e raios 1 e 2. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas polares, então vamos usar a mudança de variável para polar e a definição de elemento de área
.
Passo 2
Fazendo a mudança para coordenadas polares:
,
e
. A região
vira
Passo 3
logo a integral fica
Passo 4
Para calcular a parte radial
fazemos a substituição
, de modo que
e
. Então
Passo 5
Finalmente, integramos em
de 0 a
, o que dá um fator
:
Passo 6
Multiplicando tudo, obtemos