Calcule a integral integralegral duplaR sen(x^2+y^2) d A, onde R é a região entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de sin(x^2+y^2) sobre a região R entre dois círculos de centros na origem e raios 1 e 2. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas polares, então vamos usar a mudança de variável para polar e a definição de elemento de área dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A região R vira
1<= r<=2, 0<=theta<=2pi,

Passo 3

logo a integral fica
integral duplaRsin(x^2+y^2),dA =integraltheta=0^2piintegralr=1^2sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular a parte radial integralr=1^2sin(r^2),r,dr fazemos a substituição u=r^2, de modo que du=2r,dr e r,dr=du/2. Então
integralr=1^2sin(r^2),r,dr =12integralu=1^4sin(u),du =12l[-cos(u)r]1^4 =cos(1)-cos(4)2

Passo 5

Finalmente, integramos em theta de 0 a 2pi, o que dá um fator 2pi:
integral0^2pidtheta=2pi

Passo 6

Multiplicando tudo, obtemos
2picdotcos(1)-cos(4)2= pil(cos(1)-cos(4)r)

Resposta

pi(cos 1-cos 4)

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