Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e) integral cotg(e^x) e^x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral cot(e^x) e^x , dx. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, escolhemos o que vamos substituir. Observando a integral, vemos que e^x está dentro da função cosseno hiperbólico. Vamos definir:
u = e^x

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = e^x
Multiplicando ambos os lados por dx, temos:
du = e^x , dx

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando u e du. Substituindo e^x , dx por du, a integral fica:
integral cot(u) , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de u. A integral de cot(u) é:
integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para x, lembrando que u = e^x:
ln|sin(e^x)| + C

Resposta

ln|sin(e^x)| + C

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