Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(a) integral raiza^2-x^2x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral raiza^2-x^2x^2 , dx. Aqui, vamos usar a substituição trigonométrica, uma técnica útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, precisaremos identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Vamos usar:
x = a sin theta
Isso implica que:
dx = a cos theta , dtheta

Passo 3

Substituindo x e dx na integral original:
integral raiza^2 - (a sin theta)^2(a sin theta)^2 cdot a cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiza^2 - a^2 sin^2 theta = a cos theta

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral a cos thetaa^2 sin^2 theta cdot a cos theta , dtheta = integral a^2 cos^2 thetaa^2 sin^2 theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta
Isso simplifica para:
integral cot^2 theta , dtheta

Passo 5

Lembrando que cot^2 theta = csc^2 theta - 1, a integral fica:
integral (csc^2 theta - 1) , dtheta = integral csc^2 theta , dtheta - integral 1 , dtheta
Sabemos que:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta
e
integral 1 , dtheta = theta
Portanto:
-cot theta - theta + C

Passo 6

Agora, precisamos retornar à variável original x. Sabemos que x = a sin theta, então:
sin theta = xa Rightarrow theta = arcsin(xa)
E,
cot theta = cos thetasin theta = raiz1 - sin^2 thetasin theta = raiza^2 - x^2x

Resposta

A integral indefinida é:
-raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C

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