Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
© integral sen^3 x cos ^4 x d x

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral da função trigonométrica sin^3 x cos^4 x. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de substituição e identidades trigonométricas que nos permitem simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a potência de sin x é ímpar (3). Isso é útil porque podemos separar um sin x para usar na substituição.
Reescrevemos sin^3 x como sin^2 x cdot sin x.
Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x por uma identidade trigonométrica.
Então, a integral fica:
integral sin^3 x cos^4 x , dx = integral (1 - cos^2 x) cos^4 x sin x , dx

Passo 3

Vamos agora fazer a substituição. Vamos definir u = cos x.
Então, du = -sin x , dx, ou seja, -du = sin x , dx.
Agora, substituindo na integral:
integral (1 - u^2) u^4 (-du) = -integral (1 - u^2) u^4 , du = -integral (u^4 - u^6) , du

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
- integral u^4 , du + integral u^6 , du = - ( u^55 ) + ( u^77 ) + C

Passo 5

Agora, substituímos u = cos x de volta:
- cos^5 x5 + cos^7 x7 + C

Resposta

- cos^5 x5 + cos^7 x7 + C

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