Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
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Passo 1
Você tem que calcular a integral indefinida
usando a técnica de substituição trigonométrica. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é útil quando a integral envolve expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na forma
. No nosso caso,
, então
. A substituição trigonométrica adequada para
é
. Isso simplifica a expressão raiz, facilitando a integração.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Derivando ambos os lados em relação a :
Derivando ambos os lados em relação a
Passo 4
Substituindo
e
na integral:
Simplificando a raiz:
Passo 5
Substituindo novamente na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma integral mais simples:
Sabemos que
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando isso:
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então
.
Passo 8
Vamos expressar
em termos de
. Usando identidades trigonométricas:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral indefinida é: