Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
© integral 3x raiz4-x^2 d x

Passo 1

Você tem que calcular a integral indefinida usando a técnica de substituição trigonométrica. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é útil quando a integral envolve expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na forma . No nosso caso, , então . A substituição trigonométrica adequada para é . Isso simplifica a expressão raiz, facilitando a integração.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar em termos de :
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 3x raiz4 - x^2 dx = integral 32sintheta cdot raiz4 - 4sin^2theta cdot 2costheta dtheta e na integral:
Simplificando a raiz:

Passo 5

Substituindo novamente na integral:
integral 32sintheta cdot 2costheta cdot 2costheta dtheta = integral 34sintheta costheta cdot 2costheta dtheta
Simplificando:
integral 34sintheta costheta cdot 2costheta dtheta = integral 32sintheta dtheta

Passo 6

Agora, temos uma integral mais simples:
integral 32sintheta dtheta = 32 integral csctheta dtheta
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando isso:
32 ln|tan(theta/2)| + C
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , então .

Passo 8

Vamos expressar tan(theta/2) = sintheta1 + costheta = x/2raiz1 - (x/2)^2 + 1 = x2 + raiz4 - x^2 em termos de . Usando identidades trigonométricas:

Passo 9

Substituindo de volta:
32 ln|x2 + raiz4 - x^2| + C

Resposta

A integral indefinida é:
32 ln|x2 + raiz4 - x^2| + C

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