Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(h) integral 1(4 x^2-4)^32 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 1(4 x^2-4)^32 dx. A gente vai usar a técnica de substituição trigonométrica, que é um método que ajuda a simplificar integrais que têm expressões quadráticas. Vamos precisar entender como fazer essa substituição e aplicar algumas identidades trigonométricas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que 4x^2 - 4 pode ser fatorado:
4x^2 - 4 = 4(x^2 - 1)
Então, a integral fica:
integral 1(4(x^2 - 1))^32 dx = integral 14^32(x^2 - 1)^32 dx = 18 integral 1(x^2 - 1)^32 dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Como temos x^2 - 1, que se assemelha à identidade trigonométrica sec^2 theta - 1 = tan^2 theta, podemos usar a substituição:
x = sec theta
Dessa forma, quando x = sec theta, temos:
dx = sec theta tan theta dtheta
E:
x^2 - 1 = sec^2 theta - 1 = tan^2 theta

Passo 4

Substituindo esses valores na integral, temos:
18 integral 1(tan^2 theta)^32 cdot sec theta tan theta dtheta = 18 integral 1tan^3 theta cdot sec theta tan theta dtheta
Simplificando:
18 integral sec thetatan^2 theta dtheta
Sabemos que tan theta = sin thetacos theta e sec theta = 1cos theta, então podemos reescrever a integral:
18 integral 1cos theta(sin thetacos theta)^2 dtheta = 18 integral 1cos theta cdot cos^2 thetasin^2 theta dtheta = 18 integral cos thetasin^2 theta dtheta

Passo 5

Agora, vamos simplificar ainda mais a integral:
18 integral cos thetasin^2 theta dtheta
Podemos fazer a seguinte substituição: seja u = sin theta, então du = cos theta dtheta. Assim, a integral se torna:
18 integral 1u^2 du = 18 ( -1u ) + C = -18u + C
Substituindo de volta u = sin theta:
-18 sin theta + C

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição x = sec theta, então podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar sin theta em termos de x.
Nesse triângulo:
  • A hipotenusa é x
  • O lado adjacente é 1
  • O lado oposto é raizx^2 - 1
Portanto:
sin theta = raizx^2 - 1x
Substituindo na expressão:
-18 cdot raizx^2 - 1x + C = -x8 raizx^2 - 1 + C

Resposta

integral 1(4 x^2-4)^32 dx = -x8 raizx^2 - 1 + C

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