Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. A gente vai usar a técnica de substituição trigonométrica, que é um método que ajuda a simplificar integrais que têm expressões quadráticas. Vamos precisar entender como fazer essa substituição e aplicar algumas identidades trigonométricas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
pode ser fatorado:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Como temos
, que se assemelha à identidade trigonométrica
, podemos usar a substituição:
Dessa forma, quando
, temos:
E:
Passo 4
Substituindo esses valores na integral, temos:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então podemos reescrever a integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar ainda mais a integral:
Podemos fazer a seguinte substituição: seja
, então
. Assim, a integral se torna:
Substituindo de volta
:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, então podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar
em termos de
.
Nesse triângulo:
- A hipotenusa é
- O lado adjacente é
- O lado oposto é
Portanto:
Substituindo na expressão: