Calcule as integrais definidas:
(g) integral-pi^pi sen x cos x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de sin x cos x no intervalo de -pi a pi. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin x cos x usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin x cos x = 12 sin(2x)
Essa identidade nos ajuda a tornar a integração mais fácil.

Passo 3

Agora, substituímos sin x cos x por 12 sin(2x) na integral:
integral-pi^pi sin x cos x , dx = 12 integral-pi^pi sin(2x) , dx

Passo 4

Vamos integrar sin(2x). A integral de sin(kx) é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
No nosso caso, k = 2, então:
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de -pi a pi:
12 [ -12 cos(2x) ]-pi^pi = -14 [ cos(2pi) - cos(-2pi) ]

Passo 6

Sabemos que cos(2pi) = 1 e cos(-2pi) = 1. Substituindo:
-14 (1 - 1) = -14 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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